普遍係数定理(ふへんけいすうていり、: universal coefficient theorems)とは、単項イデアル整域R上定義されたホモロジーコホモロジーから、R-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。

定理はR-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。

準備

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本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor関手、Ext関手を定義する。

ホモロジー

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R可換環とするとき、整数nを添え字として持つR-加群 と写像 の組 で、

 

となるものR上のチェイン複体といい[1]

 

 n次のホモロジー加群という[1]

コホモロジー

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可換環Rに対し、  R上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい[2]

 

 n次のコホモロジー加群という[2]

Tor関手

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Rを単項イデアル整域とし、MNR-加群とする。さらに短完全系列

 

ABが自由R-加群であるものを選び[注 1]

 

を考えると必ずしも完全系列にならない[注 2]。そこで

 

と定義する[4] の定義はABの取り方に依存しているが、実はABを別のものに取り替えて定義した と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである[4]

 の事をTor関手という。


なお、Rが単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTorが定義できるが本項では割愛する。また の事を と表記し、より一般に n0)を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。

Tor関手は以下の性質を満たす。

命題 ―  Rを単項イデアル整域、MNR-加群とするとき、次が成立する:

  1.  [5]
  2.  。ここで「 」はR-加群としての直和を表す[6]
  3. M自由R-加群なら 
  4.  [7]
  5.  、ここでgcd(x,y)xyの最大公約元である。
  6. Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、 

Rが単項イデアル整域であるので、MNが有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、MRnと複数のR/(xi)の直和で書け、Nも同様である。上述の1., 2.からTorRは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTorRを容易に計算できる。

Ext関手

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Torのときと同様、Rを単項イデアル整域とし、MNR-加群とし、さらに短完全系列

 

ABが自由R-加群であるものを選ぶ[注 1]。そして

 

を考えると必ずしも完全系列にはならない[注 3]。そこで

 

と定義する[9]。ここでCoker余核である。すなわち、 に対し、 である。


 の定義はABの取り方に依存しているが、実はABを別のものに取り替えて定義した と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである[9]

 の事をExt関手という。


また に関しても と同様、Rが一般の環の場合に対しても定義できるし、 が定義できて であるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。

Ext関手は以下を満たす:

命題 ―  Rを単項イデアル整域、MNR-加群とするとき、次が成立する:

  1.  。ここで「 」はR-加群としての直和である[10]
  2.  。ここで「 」はR-加群としての直積である[10]
  3. Mが自由R-加群なら 
  4.  [7]
  5.  、ここでgcd(x,y)xyの最大公約元である。
  6. Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、 

TorRの場合と同様、Mが有限生成R-加群であれば、これらの性質からExtRを具体的に計算できる。

Torに関する普遍係数定理

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ホモロジーの場合

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次の定理が成立することが知られている:

定理 (Torに関する普遍係数定理) ―  R単項イデアル整域とし、MR-加群とし、さらに R上のチェイン複体で、各nに対し R-加群として自由なものとする。このとき

 

短完全系列となるαβが存在する[11]

しかもこの短完全系列は およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は(自然ではなく)分裂する[11]

上記の定理でα と具体的に書ける[11]


なお、係数環 R M の場合は、上記の定理はボックシュタイン・スペクトル系列英語版の特別な場合に相当する。


 で各 が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、 は自由加群部分Fnと素数pに対する の和で書ける。(有限個の素数pを除いて である)。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる:

命題 ― 上記の設定のもと:

 

コホモロジーの場合

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チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う:

定理 ―  RM上述の定理と同様に取り、 を任意のコチェイン複体とすると、

 

短完全系列となるαβが存在する[12]

この短完全系列が Mに関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。


また で各 が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。

M係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理

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上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をMを係数に持つコホモロジー(例えばMを係数にもつ特異コホモロジー)に適用する場合は注意が必要である。

定義

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これまで同様Rが単項イデアル整域とし、MR-加群する。R上のチェイン複体 に対し、

 

と定義すると

 

であるので はコチェイン複体である。 Mに関する 双対コチェイン複体: dual cochain complex)という[12]

定義 ―  

  •   n次のMに係数を持つホモロジー加群という[13]
  •   n次のMに係数を持つコホモロジー加群という[13]

ホモロジーの場合

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Mに係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、

 
 

なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理  を単純に置き換える事で、以下の系が従う:

 ―  RM前述の定理と同様に取り、 を任意のチェイン複体とすると、

 

が短完全系列となるαβが存在する。

コホモロジーの場合

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一方、Mを係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、 としてやると、

 

であるが、 の方は

 

であり、コホモロジーの普遍係数定理における

 

とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら2つが等しくなり、Mを係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる:

定理 ―  RM前述の定理と同様に取り、さらに R上のチェイン複体で各nに対し、 R-加群として自由なものとする。

このときMR上有限生成であるかもしくは全てのnに対して R上有限生成であれば、任意のnに対して以下が完全系列になるαβが存在する[14]:

 .

Extに関する普遍係数定理

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Ext関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。

前に述べたように、チェイン複体 の双対コチェイン複体 に対し、Mを係数に持つコホモロジー加群を により定義する。

このとき以下の定理がしたがう:

定理 (Extに関する普遍係数定理) ―  R単項イデアル整域とし、MR-加群とし、さらに R上のチェイン複体で各nに対し、 R-加群として自由なものする。このとき、

 

短完全系列となるαβが存在する。

しかもこの短完全系列は およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は(Mに関して自然だが に関しては自然ではなく)分裂する[15]

上述の定理においてα に対し、 という の元を対応させる写像である[15]


 で各 が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、 は自由加群部分Fnと捩れ部分群部分 の和で書ける。この事実とExtの性質を利用すると、以下がわかる:

命題 ― 上記の設定のもと以下が成立する[16]

 

上記により -係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はTorに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。

 が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する:

定理 ―  R単項イデアル整域とし、MR-加群とし、さらに R上のチェイン複体で各nに対し、 R-加群として自由で、しかも が有限生成R-加群であるものとする。 このとき、

 

短完全系列となるαβが存在し、この短完全系列は分裂する[17]

上述の定理において、α に対し、 という の元を対応させる写像である[17]


関連項目

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脚注

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出典

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  1. ^ a b #河田 pp.55-56.
  2. ^ a b #河田 p.69.
  3. ^ #河田 p.33.
  4. ^ a b #Dieck p.292.
  5. ^ #河田 p.114.
  6. ^ 河田 p.109.
  7. ^ a b #Davis p.26.
  8. ^ #河田 p.28.
  9. ^ a b #Dieck p.294.
  10. ^ a b #河田 p.118.
  11. ^ a b c #Dieck p.295.
  12. ^ a b #Dieck p.297.
  13. ^ a b #河田 p.80.
  14. ^ #Dieck p.297.
  15. ^ a b #Dieck p.296.
  16. ^ #Davis p.46.
  17. ^ a b #Davis p.48.

注釈

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  1. ^ a b 具体的にはMR上の生成元 を選び、 有限個の を除いて とし、  とし、Bをこの写像のカーネルとすればよい。定義から明らかにAR上自由である。またRは単項イデアル整域なので、自由加群Aの部分加群であるBも自由である。
  2. ^ 最初の0を除いた は完全系列である[3]
  3. ^ 最後の0を除いた は完全系列である。[8]

参考文献

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  • 引用文献
    • Tammo tom Dieck (2008/9/15). Algebraic Topology. Ems Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society. ISBN 978-3037190487 
    • 河田敬義『ホモロジー代数』岩波書店〈岩波基礎数学選書〉、1990年11月8日。ISBN 978-4000078047 
    • James F. Davis, Paul Kirk (2001/8/1). Lecture Notes in Algebraic Topology. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. ISBN 978-0821821602 

その他

外部リンク

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