ハミルトン力学 では、一般化座標 qi (i =1,..,n )一般化運動量 pi (i =1,..,n )正準変数 (q, p ) = (q 1 ,..., qn ; p 1 ,..., pn ) が独立な変数となる。
相空間 上の運動は、正準変数と時間t の関数であるハミルトニアン H (q, p, t )
q
i
˙
=
∂
H
∂
p
i
{\displaystyle {\dot {q_{i}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}
p
i
˙
=
−
∂
H
∂
q
i
{\displaystyle {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}}
によって記述される。但し、ドット記号は時間微分 を表す。
ここで、正準変数と時間の関数である新たな変数
Q
i
=
Q
i
(
q
,
p
,
t
)
{\displaystyle Q_{i}=Q_{i}(q,p,t)}
P
i
=
P
i
(
q
,
p
,
t
)
(
i
=
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle P_{i}=P_{i}(q,p,t)\quad (i=1,\cdots ,n)}
が新たな正準変数となるとき、すなわち、新たなハミルトニアンK (Q, P, t )
Q
i
˙
=
∂
K
∂
P
i
{\displaystyle {\dot {Q_{i}}}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}}
P
i
˙
=
−
∂
K
∂
Q
i
{\displaystyle {\dot {P_{i}}}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}}
が成り立つとき、(q, p ) →(Q, P ) を正準変換 という。
正準変換の下では、一般化座標と一般化運動量は互いに混ざり合い、等価な役割を果たす。
母関数による構成
編集
正準変換を構成する標準的な手法は、母関数 を用いる手法である。ハミルトンの運動方程式は、作用
S
[
q
,
p
]
=
∫
t
1
t
2
{
∑
i
=
1
n
p
i
q
˙
i
−
H
(
q
,
p
,
t
)
}
d
t
{\displaystyle S[q,p]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t)\right\}dt}
の変分 δS を最小にするというハミルトンの原理 から導かれる。
したがって、新旧の正準変数とハミルトニアンの間には
∑
i
=
1
n
p
i
q
˙
i
−
H
(
q
,
p
,
t
)
=
∑
i
=
1
n
P
i
Q
˙
i
−
K
(
Q
,
P
,
t
)
+
d
d
t
W
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t)=\sum _{i=1}^{n}P_{i}{\dot {Q}}_{i}-K(Q,P,t)+{\frac {d}{dt}}W}
という関係式が成り立つ[1] W=W(q, p, Q, P, t ) は新旧の正準変数と時間の任意の関数である。
特に、(q, p, Q, P ) の中から独立な変数として二つを選び、W を定めた場合、両辺の独立な変数に対する微分を考えることで、Q i =Q i (q, p, t )P i =P i (q, p, t )W を与えることで、正準変換が定まることから、W を正準変数の母関数 と呼ぶ。二つの独立な変数の選び方に応じて、四つのタイプの母関数が存在する。
タイプ1 独立な変数として(q, Q ) を選んだ場合、W 1 =W 1 (q, Q, t )
p
i
=
∂
W
1
∂
q
i
,
P
i
=
−
∂
W
1
∂
Q
i
,
H
=
K
−
∂
W
1
∂
t
{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}},\,\,P_{i}=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{1}}{\partial t}}}
タイプ2 タイプ1の母関数W 1 =W 1 (q, Q, t )ルジャンドル変換
W
2
(
q
,
P
,
t
)
=
W
1
(
q
,
Q
,
t
)
+
∑
i
=
1
n
Q
i
P
i
{\displaystyle W_{2}(q,P,t)=W_{1}(q,Q,t)+\sum _{i=1}^{n}Q_{i}P_{i}}
を施せば、独立な変数として(q, P ) を選んだ場合であるタイプ2の母関数W 2 =W 2 (q, P, t )
Q
i
=
∂
W
2
∂
P
i
,
p
i
=
∂
W
2
∂
q
i
,
H
=
K
−
∂
W
2
∂
t
{\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial P_{i}}},\,\,p_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{2}}{\partial t}}}
タイプ3 タイプ1の母関数W 1 =W 1 (q, Q, t )
W
3
(
Q
,
p
,
t
)
=
W
1
(
q
,
Q
,
t
)
−
∑
i
=
1
n
q
i
p
i
{\displaystyle W_{3}(Q,p,t)=W_{1}(q,Q,t)-\sum _{i=1}^{n}q_{i}p_{i}}
を施せば、独立な変数として(Q, p ) を選んだ場合であるタイプ3の母関数W 3 =W 3 (Q, p, t )
q
i
=
−
∂
W
3
∂
p
i
,
P
i
=
−
∂
W
3
∂
Q
i
,
H
=
K
−
∂
W
3
∂
t
{\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial W_{3}}{\partial p_{i}}},\,\,P_{i}=-{\frac {\partial W_{3}}{\partial Q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{3}}{\partial t}}}
タイプ4 タイプ2の母関数W 2 =W 2 (q, P, t )
W
4
(
p
,
P
,
t
)
=
W
2
(
q
,
P
,
t
)
−
∑
i
=
1
n
q
i
p
i
{\displaystyle W_{4}(p,P,t)=W_{2}(q,P,t)-\sum _{i=1}^{n}q_{i}p_{i}}
を施せば、独立な変数として(p, P ) を選んだ場合であるタイプ3の母関数W 4 =W 4 (p, P, t )
q
i
=
−
∂
W
4
∂
p
i
,
Q
i
=
∂
W
4
∂
P
i
,
H
=
K
−
∂
W
4
∂
t
{\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial W_{4}}{\partial p_{i}}},\,\,Q_{i}={\frac {\partial W_{4}}{\partial P_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{4}}{\partial t}}}
恒等変換
編集
正準変換の最も簡単な例は、恒等変換 Q =q P =p K (Q, P, t )=H (q, p, t )
この正準変換の母関数は
W
2
(
q
,
P
)
=
∑
i
=
1
n
q
i
P
i
{\displaystyle W_{2}(q,P)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}P_{i}}
であり、この場合、新旧の正準変数の間には
p
i
=
∂
W
2
∂
q
i
=
P
i
{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{i}}}=P_{i}}
Q
i
=
∂
W
2
∂
P
i
=
q
i
{\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial P_{i}}}=q_{i}}
の関係が満たされている。
一般化座標と一般化運動量の交換
編集
任意の系において、一般化座標と一般化運動量の符号を込めた交換
Q
i
=
p
i
{\displaystyle Q_{i}=p_{i}}
P
i
=
−
q
i
(
i
=
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle P_{i}=-q_{i}\quad (i=1,\cdots ,n)}
は正準変換である。この場合、新たなハミルトニアンはK (Q, P, t )=H (q, p, t )=H (-P, Q, t )
この正準変換の母関数は
W
1
(
q
,
Q
)
=
∑
i
=
1
n
q
i
Q
i
{\displaystyle W_{1}(q,Q)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}Q_{i}}
であり、この場合、新旧の正準変数の間には
p
i
=
∂
W
1
∂
q
i
=
Q
i
{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}}=Q_{i}}
P
i
=
−
∂
W
1
∂
Q
i
=
−
q
i
{\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q_{i}}}=-q_{i}}
の関係が満たされている。
一次元調和振動子
編集
質量m 、角振動数ω の一次元調和振動子 では、ハミルトニアンは
H
(
q
,
p
)
=
1
2
m
p
2
+
m
ω
2
2
q
2
{\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2m}}p^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q^{2}}
で与えられる。母関数を
W
1
(
q
,
Q
)
=
1
2
m
ω
q
2
cot
Q
{\displaystyle W_{1}(q,Q)={\frac {1}{2}}m\omega q^{2}\operatorname {cot} {Q}}
で与えると、新旧の正準変数の間には
p
=
∂
W
1
∂
q
=
m
ω
q
cot
Q
{\displaystyle p={\frac {\partial W_{1}}{\partial q}}=m\omega q\operatorname {cot} {Q}}
P
=
−
∂
W
1
∂
Q
=
1
2
m
ω
q
2
1
sin
2
Q
{\displaystyle P=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q}}={\frac {1}{2}}m\omega q^{2}{\frac {1}{\sin ^{2}{Q}}}}
の関係が成り立つ。
また、新しいハミルトニアンは、
K
(
Q
,
P
)
=
H
(
q
,
p
)
=
ω
P
{\displaystyle K(Q,P)=H(q,p)=\omega P}
とP だけの関数となる。すなわち、Q は循環座標 である。この場合、Q とP の時間発展は、
Q
(
t
)
=
ω
t
+
β
{\displaystyle Q(t)=\omega t+\beta }
P
(
t
)
=
E
ω
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle P(t)={\frac {E}{\omega }}=\operatorname {const.} }
と簡単な形で求まる。但し、β は任意の定数、E は保存量 である系のエネルギーである。
ゲージ変換
編集
電磁ポテンシャルのゲージ変換 は、座標q を変化させない正準変換
Q
i
=
q
i
,
{\displaystyle Q_{i}=q_{i},}
P
i
=
p
i
+
e
∂
u
∂
q
i
{\displaystyle P_{i}=p_{i}+e{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}}
に対応する[2]
W
1
(
q
,
P
,
t
)
=
∑
i
q
i
P
i
−
e
u
(
q
,
t
)
{\displaystyle W_{1}(q,P,t)=\sum _{i}q_{i}P_{i}-eu(q,t)}
であり、新旧の正準変数の間には
Q
i
=
∂
W
1
∂
P
i
=
q
i
,
{\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial P_{i}}}=q_{i},}
p
i
=
∂
W
1
∂
q
i
=
P
i
−
e
∂
u
∂
q
i
,
{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}}=P_{i}-e{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}},}
H
=
K
−
∂
W
1
∂
t
=
K
+
e
∂
u
∂
t
{\displaystyle H=K-{\frac {\partial W_{1}}{\partial t}}=K+e{\frac {\partial u}{\partial t}}}
の関係が成り立つ。荷電粒子のハミルトニアンH が電磁ポテンシャルϕ , A
H
=
1
2
m
∑
i
(
p
i
−
e
A
i
)
2
+
e
ϕ
{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\sum _{i}(p_{i}-eA_{i})^{2}+e\phi }
で表されることから、新しい正準変数でも同じ形式
K
=
1
2
m
∑
i
(
P
i
−
e
A
i
′
)
2
+
e
ϕ
′
{\displaystyle K={\frac {1}{2m}}\sum _{i}(P_{i}-eA'_{i})^{2}+e\phi '}
が成り立つことが分かる。ここでϕ ′, A ′
ϕ
′
=
ϕ
−
∂
u
∂
t
,
{\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial u}{\partial t}},}
A
i
′
=
A
i
+
∂
u
∂
q
i
{\displaystyle A'_{i}=A_{i}+{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}}
である。
正準変換の性質
編集
ポアソン括弧の不変性
編集
正準変換(q, p ) →(Q, P ) に対し、ポアソン括弧 は不変に保たれる。すなわち、元の正準変数に対するポアソン括弧を{ , }q,p 、新しい正準変数に対するポアソン括弧を{ , }Q,P と表すと、
{
f
,
g
}
q
,
p
=
{
f
,
g
}
Q
,
P
{\displaystyle \{f,g\}_{q,p}=\{f,g\}_{Q,P}}
が成り立つ。逆にポアソン括弧を不変に保つ変数変換は正準変換となる。ポアソン括弧の不変性が成り立つには、
{
Q
i
,
Q
j
}
q
,
p
=
0
{\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}\}_{q,p}=0}
{
P
i
,
P
j
}
q
,
p
=
0
{\displaystyle \{P_{i},P_{j}\}_{q,p}=0}
{
Q
i
,
P
j
}
q
,
p
=
δ
i
j
(
i
=
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle \{Q_{i},P_{j}\}_{q,p}=\delta _{ij}\quad (i=1,\cdots ,n)}
が満たされていればよい。但し、δij はクロネッカーのデルタ である。
群の構造
編集
正準変換は次の性質を満たしており、群 の構造を持つ。
恒等変換は正準変換である。
正準変換に対し、逆変換 が存在し、逆変換も正準変換となる。
２つの正準変換の合成 は正準変換である。
正準変換の合成は結合法則 を満たす。 微小正準変換と対称性
編集
微小正準変換
編集
正準変数(q, p ) を微小変化させる微小正準変換
Q
i
=
q
i
+
δ
q
i
(
q
,
p
,
t
)
{\displaystyle Q_{i}=q_{i}+\delta q_{i}(q,p,t)}
P
i
=
p
i
+
δ
p
i
(
q
,
p
,
t
)
(
i
=
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle P_{i}=p_{i}+\delta p_{i}(q,p,t)\quad (i=1,\cdots ,n)}
の母関数は、恒等変換を与える母関数にεG (q, P, t ) を加えた
W
2
(
q
,
P
)
=
∑
i
=
1
n
q
i
P
i
+
ϵ
G
(
q
,
P
,
t
)
{\displaystyle W_{2}(q,P)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}P_{i}+\epsilon G(q,P,t)}
の形で与えられる。但し、ε は微小定数、 G (q, P, t )
このとき、微小変化(δq , δp ) は
δ
q
i
(
q
,
p
,
t
)
=
ϵ
∂
G
(
q
,
p
,
t
)
∂
p
i
{\displaystyle \delta q_{i}(q,p,t)=\epsilon {\frac {\partial G(q,p,t)}{\partial p_{i}}}}
δ
p
i
(
q
,
p
,
t
)
=
−
ϵ
∂
G
(
q
,
p
,
t
)
∂
q
i
{\displaystyle \delta p_{i}(q,p,t)=-\epsilon {\frac {\partial G(q,p,t)}{\partial q_{i}}}}
となる。任意の力学量F (q, p, t )
δ
F
=
F
(
q
+
δ
q
,
p
+
δ
p
,
t
)
−
F
(
q
,
p
,
t
)
{\displaystyle \delta F=F(q+\delta q,p+\delta p,t)-F(q,p,t)}
は、ポアソン括弧を用いて、
δ
F
=
ϵ
{
F
,
G
}
p
,
q
{\displaystyle \delta F=\epsilon \{F,G\}_{p,q}}
で与えられる。
時間発展 G として、ハミルトニアンH (q, p, t )
δ
q
i
=
ϵ
∂
H
(
q
,
p
,
t
)
∂
p
i
=
ϵ
q
˙
i
{\displaystyle \delta q_{i}=\epsilon {\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial p_{i}}}=\epsilon {\dot {q}}_{i}}
δ
q
i
=
−
ϵ
∂
H
(
q
,
p
,
t
)
∂
q
i
=
ϵ
p
˙
i
{\displaystyle \delta q_{i}=-\epsilon {\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial q_{i}}}=\epsilon {\dot {p}}_{i}}
であるから、正準変換は
Q
i
=
q
i
(
t
)
+
δ
q
i
=
q
i
(
t
+
ϵ
)
{\displaystyle Q_{i}=q_{i}(t)+\delta q_{i}=q_{i}(t+\epsilon )}
P
i
=
p
i
(
t
)
+
δ
p
i
=
p
i
(
t
+
ϵ
)
{\displaystyle P_{i}=p_{i}(t)+\delta p_{i}=p_{i}(t+\epsilon )}
となる。すなわち、微小時間ε における時間発展は、ハミルトニアンによる微小正準変換となる。有限時間での時間発展は、微小時間における時間発展を繰り返し合成することで得られる。正準変換の合成も正準変換であるため、(q, p ) の時間発展は、正準変換の特別な例となっている。
リウヴィルの定理
編集
相空間の体積要素
∏
i
=
1
n
d
q
i
d
p
i
=
d
q
1
d
p
1
⋯
d
q
n
d
p
n
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=dq_{1}dp_{1}\cdots dq_{n}dp_{n}}
は正準変換(q, p ) →(Q, P ) の下、不変となる。
∏
i
=
1
n
d
q
i
d
p
i
=
∏
i
=
1
n
d
Q
i
d
P
i
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=\prod _{i=1}^{n}dQ_{i}dP_{i}}
したがって、相空間のある領域γ が正準変換により、領域Γ に写されるとすると、
∫
⋯
∫
γ
∏
i
=
1
n
d
q
i
d
p
i
=
∫
⋯
∫
Γ
∏
i
=
1
n
d
Q
i
d
P
i
{\displaystyle \int \cdots \int _{\gamma }\prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=\int \cdots \int _{\Gamma }\prod _{i=1}^{n}dQ_{i}dP_{i}}
が成り立つ。すなわち、領域γ の体積は正準変換(q, p ) →(Q, P ) で不変に保たれる。
特に、時間発展は正準変換の特別な例であり、領域γ(t ) の時間発展を考えると、リウヴィルの定理
∫
⋯
∫
γ
(
t
)
∏
i
=
1
n
d
q
i
d
p
i
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle \int \cdots \int _{\gamma (t)}\prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=\operatorname {const.} }
が導かれる。
ハミルトン-ヤコビの理論
編集
新ハミルトニアンが恒等的にゼロ K(Q, P, t )≡0 となる正準変換(q, p ) →(Q, P ) を考えると
、ハミルトンの運動方程式は
Q
i
˙
=
∂
K
∂
P
i
=
0
{\displaystyle {\dot {Q_{i}}}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}=0}
P
i
˙
=
−
∂
K
∂
Q
i
=
0
(
i
=
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle {\dot {P_{i}}}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}=0\quad (i=1,\cdots ,n)}
と簡単な形になる。このとき、新たな正準変数(Q, P ) は定数(β, α ) となる。
Q
i
=
β
i
{\displaystyle Q_{i}=\beta _{i}}
P
i
=
α
i
(
i
=
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle P_{i}=\alpha _{i}\quad (i=1,\cdots ,n)}
このような正準変換を生む母関数として、タイプ2の母関数S =W 2 (q, P, t )S (q, P, t )H(q, p, t ) の間には、
H
(
q
,
∂
S
∂
q
,
t
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
という関係式が成り立つ。但し、K(Q, P, t )≡0 とpi =∂ S/∂ qi ハミルトン-ヤコビ方程式 という。
幾何学的観点
編集
^ 実際は、左辺に定数λ≠0 を乗じる自由度があるが、正準変数のスケール変換を考えることでλ=1 としてよい。(H. Goldstein，C. Poole and J. Safko（2000）chapter.9を参照)
^ 冨田博之. “正準変換 覚え書き - 簡単な場合ほど面食らう？ ”. 2022年6月18日 閲覧。
参考文献
編集
H. Goldstein，C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics (3rd edition) , Addsion Wesley (2000); 瀬川富士、矢野忠、江沢康生 （翻訳）『古典力学〈上〉 (物理学叢書)』 吉岡書店 (2006) ISBN 978-4842703367
畑浩之 (著)、 益川敏英 (監修)、 植松恒夫、青山秀明 (編集) 『解析力学 (基幹講座物理学)』 東京図書 (2014) ISBN 978-4489021688
並木美喜雄 『解析力学 (パリティ物理学コース)』 丸善（1991）ISBN 978-4621036372 関連項目
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![{\displaystyle S[q,p]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t)\right\}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecae5a9046069496083a1e6cebff78f61a9f859)
