ブラ-ケット記法(ブラ-ケットきほう、: bra-ket notation)またはディラックの記法[1](ディラックのきほう、: Dirac notation)は[注 1]量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。

ブラケット(bra-ket)という呼称は、量子状態をブラbraφ|ケットket|ψ と呼ばれる2つのベクトルで表すこと、またブラとケットの内積 φ|ψ括弧bracket)を成すことに由来する。

ブラケット記法は1939年のポール・ディラックの論文(Dirac 1939)で提案された。ディラックの教科書 the principles of quantum mechanics では1947年の第3版からブラケット記法を採用している[2]

ブラ・ケット

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ブラ φ| はケット |ψ のなすベクトル空間双対空間の元として定義される。ケットをケットへ写す線型関数線型作用素)を   で表し、ケットに対する適用を   と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。

 

通常、上記の内積は括弧を外して   と表される。 また特に任意のケット |ψ に作用してケット |ηξ|ψ を与える作用素は |ηξ| と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号で |ηξ| と表される。

性質

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ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。

 

また、ある状態   において、観測可能量  期待値はブラ ψ| とケット ˆO|ψ の内積   として表される。

初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある(行列表示を参照)。

利点と欠点

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この記法の利点として

  • 基底に依存しない記述が可能
  • 固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える
  • 中身の書き方を自由に工夫して記述できる(パラメータだけを並べて |n, l, m としたり、|生きている猫 と書くこともできる)

などがある[3]

無限次元での取り扱い

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ディラックの説明によればケット |ψ の空間においてブラ φ|線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。

正規直交基底とブラケット記法

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正規直交基底のうち2つのラベルを α, β として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて

 

連続基底ではデルタ関数を用いて

 

となる。

また正規直交基底の完全性は離散基底について、

 

連続基底について、

 

と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」   があるかのように書いている[4]量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照)。

第二量子化とブラケット記法

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第二量子化された粒子生成演算子 a を用いて2粒子状態を

 

と定義する。この時 aフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係 {a 
α
 
, a 
β
 
} = 0
を満たすので、

 

となり、反対称化されている。

また aボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係 [a 
α
 
, a 
β
 
] = 0
を満たすので、

 

となり、対称化されている。

波動関数との関係

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ケット |ψ と、(位置表示の)波動関数 ψ(x) の関係は以下のように表される[5]

 

ただし、位置を表す演算子   の固有値を x 、対応する固有ケットを |x とする; 

出典

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  1. ^ Dirac 1968.
  2. ^ Dirac 1947, PREFACE TO THIRD EDITION.
  3. ^ 北野 2013.
  4. ^ 原 2009, p. 9, 3.1.1 Dirac の記法と三つ組み.
  5. ^ 北野 2010, pp. 95–96.

注釈

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  1. ^ 以下、本稿では「ブラケット記法」と呼ぶ。

参考文献

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  • Dirac, P. A. M. (1939-07). “A new notation for quantum mechanics”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 35 (3): 416–418. doi:10.1017/S0305004100021162. 
  • Dirac, P. A. M. (1947). The principles of quantum mechanics (3rd ed.). Oxford University Press 
  • Dirac, P. A. M. (1967). The principles of quantum mechanics. The international series of monographs on physics (4th (revised) ed.). Oxford University Press 
  • Dirac, P. A. M. 著、朝永振一郎 他 訳『量子力学』(原著第4版)岩波書店、1968年。 
  • 北野, 正雄『量子力学の基礎』共立出版、2010年1月23日。ISBN 978-4-320-03462-4 
  • 北野, 正雄「誤解されているブラケット:共役演算子をめぐって」『日本物理学会誌』第68巻第4号、日本物理学会、2013年4月5日、239-241頁、CRID 1390282763028514816doi:10.11316/butsuri.68.4_239hdl:2433/173934ISSN 0029-0181 
  • 原, 隆 (17 December 2009). "数学者のための量子力学入門" (PDF). www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara. 2023年1月5日閲覧

関連項目

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