ウォリス積分

数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。

定義と証明

ウォリス積分 $I_{m}$ （m は 0 以上の整数）は

I_{m}:=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta

で定義される。部分積分によって

I_{m+1}=m(I_{m-1}-I_{m+1})

すなわち漸化式

{\frac {I_{m+1}}{I_{m-1}}}={\frac {m}{m+1}}

が得られる。これより m の偶奇に応じて $I_{m}$ の値が求まる。

$I_{2n+1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdots {\frac {2}{3}}\cdot 1={\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}={\frac {1}{2n+1}}\cdot {\frac {4^{n}}{{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}}$
$I_{2n}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdots {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}{4^{n}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}$

ただし $n!!$ は二重階乗である。

$\lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta ={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$

証明 — 先述の漸化式より

(m+1)I_{m+1}I_{m}=mI_{m}I_{m-1}

が成り立つ。故に数列 $\{mI_{m}I_{m-1}\}$ は定数列で

mI_{m}I_{m-1}=I_{1}I_{0}={\frac {\pi }{2}}.

\therefore I_{m}I_{m-1}={\frac {\pi }{2m}}.

ここで、 $0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$ で $\sin ^{m+1}\theta \leq \sin ^{m}\theta \leq \sin ^{m-1}\theta$ より

{\begin{aligned}&I_{m+1}\leq I_{m}\leq I_{m-1}\\&I_{m+1}I_{m}\leq {I_{m}}^{2}\leq I_{m}I_{m-1}\\&{\frac {m}{m+1}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\leq m{I_{m}}^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}

\lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\,I_{m}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.

m = 2n を代入すると先述の $I_{2n}$ の求値より

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$