グラム行列

線形代数学において正方行列 ${\boldsymbol {A}}$ が与えられたとき, ${\boldsymbol {A}}^{*}{\boldsymbol {A}}$ を ${\boldsymbol {A}}$ のグラム行列(ぐらむぎょうれつ, 英: Gram matrix)という。ここで、${\boldsymbol {A}}^{*}$は${\boldsymbol {A}}$の随伴である。

${\boldsymbol {A}}=({\boldsymbol {a}}_{1}\dots {\boldsymbol {a}}_{n})$ であるとき, ${\boldsymbol {A}}$ のグラム行列の $(i,j)$ 成分は ${\boldsymbol {C}}^{n}$ における標準内積を用いて $\langle {\boldsymbol {a}}_{i},{\boldsymbol {a}}_{j}\rangle$ と表せる。このことから、 内積空間の $n$ 個のベクトル ${\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ が与えられたときに $\langle {\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle$ を $(i,j)$ 成分にもつ行列のこともグラム行列という。

性質

グラム行列は半正値エルミート行列であり、$A$ のグラム行列 $G$ について下記の 3 条件は同値である。

• ${\boldsymbol {A}}$ は正則行列
• ${\boldsymbol {G}}$ は正則行列
• ${\boldsymbol {G}}$ は正値エルミート行列

関連項目

• 線形代数学
• 内積