線形代数学において正方行列 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} が与えられたとき, A ∗ A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}{\boldsymbol {A}}} を A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} のグラム行列(ぐらむぎょうれつ, 英: Gram matrix)という。ここで、 A ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}} は A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} の随伴である。
A = ( a 1 … a n ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=({\boldsymbol {a}}_{1}\dots {\boldsymbol {a}}_{n})} であるとき, A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} のグラム行列の ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 成分は C n {\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{n}} における標準内積を用いて ⟨ a i , a j ⟩ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {a}}_{i},{\boldsymbol {a}}_{j}\rangle } と表せる。このことから、 内積空間の n {\displaystyle n} 個のベクトル x 1 , … , x n {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}} が与えられたときに ⟨ x i , x j ⟩ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle } を ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 成分にもつ行列のこともグラム行列という。
グラム行列は半正定値エルミート行列であり、 A {\displaystyle A} のグラム行列 G {\displaystyle G} について下記の 3 条件は同値である。
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が与えられたとき, 
を のグラム行列(ぐらむぎょうれつ, 英: Gram matrix)という。ここで、
はの随伴である。
であるとき, のグラム行列の 
成分は 
における標準内積を用いて 
と表せる。このことから、 内積空間の 
個のベクトル 
が与えられたときに 
を 成分にもつ行列のこともグラム行列という。
