ケイリー＝アロンホルトの微分作用素

数学において、ケイリー＝アロンホルトの微分作用素（ケイリー＝アロンホルトのびぶんさようそ)は、多項式環上で定義される三つの微分作用素である。作用素の名は19世紀のイギリスの数学者アーサー・ケイリーとドイツの数学者ジークフリート・ハインリッヒ・アロンホルトに因む。二次の特殊線形リー環の表現を与えており、古典的不変式論において、基本的な役割を果たす。

定義

$\xi =(\xi _{0},\xi _{1},\cdots ,\xi _{n})$ を不定元とし、標数0の体 K を係数とする多項式に対し、

${\mathcal {H}}=\sum _{l=0}^{n}(n-2l)\xi _{l}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}$

${\mathcal {D}}=\sum _{l=0}^{n}l\xi _{l-1}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}$

$\Delta =\sum _{l=0}^{n}(n-l)\xi _{l+1}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}$

で定義される、多項式環 $K[\xi ]$ 上の微分 ${\mathcal {H}},\,{\mathcal {D}},\,\Delta$ をケイリー＝アロンホルトの微分作用素という。

単項式 $\varphi =\xi _{0}^{m_{0}}\cdots \xi _{n}^{m_{n}}$ に対し、その次数 $\operatorname {deg} \varphi$、重さ $\operatorname {weight} \varphi$ は、

$\operatorname {deg} \varphi =\sum _{l=0}^{n}m_{l}$

$\operatorname {weight} \varphi =\sum _{l=0}^{n}l\cdot m_{l}$

で定義される。

${\mathcal {H}},\,{\mathcal {D}},\,\Delta$ の作用で次数 $\operatorname {deg} \varphi$ は不変であるが、重さ $\operatorname {weight} \varphi$ については、

$\operatorname {weight} {\mathcal {H}}\varphi =\operatorname {weight} \varphi$

$\operatorname {weight} {\mathcal {D}}\varphi =\operatorname {weight} \varphi -1$

$\operatorname {weight} \Delta \varphi =\operatorname {weight} \varphi +1$

が成り立つ。

全ての項の次数が等しい多項式を同次多項式、全ての項の重さが等しい多項式を同重多項式という。同次同重多項式 $\phi (\xi )\in K[\xi ]$ に対し、その指数 $\operatorname {ind} \phi$ を

$\operatorname {ind} \phi =n\operatorname {deg} \phi -2\operatorname {weight} \phi$

で定めると

${\mathcal {H}}\phi (\xi )=\operatorname {ind} \phi \cdot \phi (\xi )$

が成り立つ。

二次特殊線形リー環の表現

交換子積を$[X,Y]=XY-YX$で定めると、${\mathcal {H}},\,{\mathcal {D}},\,\Delta$同士の交換子は、

$[{\mathcal {D}},\Delta ]={\mathcal {H}},\,\,[{\mathcal {H}},{\mathcal {D}}]=2{\mathcal {D}},\,\,[{\mathcal {H}},\Delta ]=-2\Delta$

の関係を満たす。

これは二次特殊線形リー環${\mathfrak {sl}}(2)$ の基底

$H={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,X={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\,\,Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

が満たす関係

$[X,Y]=H,\,\,[H,X]=2X,\,\,[H,Y]=-2Y$

に対応している。

そこで、$\rho :{\mathfrak {sl}}(2)\rightarrow {\mathfrak {gl}}(K[\xi ])$を対応関係

$\lambda H+\mu X+\nu Y\rightarrow \lambda {\mathcal {H}}+\mu {\mathcal {D}}+\nu \Delta \quad (\lambda ,\mu ,\nu \in K)$

で与えれば、$\rho$は$K[\xi ]$を表現空間とする${\mathfrak {sl}}(2)$のリー代数の表現となる。

参考文献

• 森川寿 『不変式論 (紀伊国屋数学叢書 (11))』岩波書店 (1977年) ISBN 978-4314701129

関連項目

• 古典的不変式論
• リー代数の表現