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関数 (青) の、二次関数 (赤) による近似。

シンプソンの公式(シンプソンのこうしき、: Simpson's rule) とは、数値解析の分野における、数値積分の方法の一つである。定積分

近似値を、関数 二次関数で近似することによって得る。名前は、トーマス・シンプソンにちなんでいる。次数2の閉じたニュートン・コーツの公式である。シンプソン則ともいう。

基本編集

シンプソンの公式は、 二次関数   で近似することによって導かれる。ここで、  a, b, m における値をそれぞれとる[m は“中点”、すなわち (a+b)/2 ]。  は、ラグランジュ補間によって、次の多項式  の二次式)になることがわかる。

 

この多項式を範囲 [a, b] で積分すると、次のシンプソンの公式が得られる。

 

シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、ab の間にある ξ によって、次式で見積もれる(h の5次式)。

 

ただし、h = (ba)/2。さらに   が2回微分可能で f′′ が凸関数であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。

 

合成シンプソン公式編集

シンプソンの公式は、積分範囲 [a, b] が十分小さい場合であれば適当な近似であることがわかる。したがって、積分範囲が大きい場合は、積分範囲を小さな部分区間分割し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、合成シンプソン公式 (composite Simpson's rule) として知られている。

 

ただし、n は [a, b] を等しく偶数個に分割した部分区間の個数、h = (ba)/n は各部分区間の長さ、   、特に、   。この式は、次のようにも書ける。

 

合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で見積もることができる。

 

関連記事編集

参考文献編集

  • Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis, (7th Ed). Brooks/Cole. ISBN 0534382169. 

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Simpson's Rule". MathWorld(英語).