ディリクレの判定法
数学において、ディリクレの判定法(ディリクレのはんていほう、英: Dirichlet's test)は、級数の収束判定法の一つである。名称はこれを記述したペーター・グスタフ・ディリクレにちなんでいるが、発表されたのは彼の死後、1862年の "Journal de Mathématiques Pures et Appliquées" においてであった[1]。
主張 編集
- ある定数 があり、全ての正の整数 N に対して
を満たすならば、級数 は収束する。
証明 編集
、 とおく。
部分和分法により と変形できる。
は絶対値が M で抑えられていて なので、第1項は0に収束する:
- ( )
一方 は非増加数列なので は任意の k に対し非負であり、 となるが、
であるから、 は のとき に収束する。
よって比較判定法により もまた収束する。級数 は絶対収束するから自身もまた収束する。
以上より が収束することが言えた。
応用 編集
- ディリクレの判定法で
- とした特別な場合が交代級数判定法である。
- が減少して0に収束する実数列であれば、 は常に収束する。
- アーベルの判定法はディリクレの判定法の特別な場合だと見なせる。
広義積分 編集
広義積分の収束に対しても類似した命題が成り立つ。実軸の非有界区間で定義された関数 f と g があって、f は任意の積分範囲での積分値の絶対値がある定数で一様に(積分範囲に依らず)上から抑えられていて、g は非負値かつ単調非増加のとき、fg の広義積分は収束する。
脚注 編集
- ^ Démonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), p. 253-255.
参考文献 編集
- Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).
- Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) ISBN 0-8247-6949-X.