ドルボーコホモロジー

数学、特に代数幾何学および微分幾何学におけるドルボーコホモロジー (英: Dolbeault cohomology）は複素多様体に対するドラームコホモロジーの類似対応物で、名称はピエール・ドルボー（英語版）に因む。複素多様体 $M$ のドルボーコホモロジー群 $H p,q (M, C)$ は整数の対 $p, q$ をパラメータに持ち、次数 $(p, q)$ -の複素微分形式の空間の部分商として実現される。

コホモロジー群の構成編集

次数 $(p, q)$ の複素微分形式全体の成すベクトル束を $Ω p,q$ と書く。ドルボー作用素（定義は複素微分形式の項を参照せよ）は滑らかな切断上の微分作用素

{\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q})\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1})

として定義される。これは

{\textstyle {\bar {\partial }}^{2}=0}

を満たすから、適当なコホモロジーが付随する。具体的には商空間

H^{p,q}(M,\mathbb {C} ):={\frac {\ker({\bar {\partial }}\colon \Gamma (\Omega ^{p,q},M)\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1},M))}{{\bar {\partial }}\Gamma (\Omega ^{p,q-1})}}

としてコホモロジーが定義される。

$E$ を複素多様体 $X$ 上の正則ベクトル束とすれば、同様に $E$ の正則切断の成す層 ${\mathcal {O}}(E)$ の細層分解が定義でき、そしてこれは ${\textstyle {\mathcal {O}}(E)}$ の層係数コホモロジーを想起させる。

ドルボーの定理はドラームの定理の複素版^{[注釈 1]}で、ドルボーコホモロジーが正則微分形式の層に関する層係数コホモロジーに同型であることを主張する。

定理 (Dolbeault): 複素多様体 $M$ 上の正則 $p$ -形式全体の成す層を $Ω p$ と書けば、 $H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})$ が成り立つ。

対数的微分形式に対する同様の定理もある^[1]。

証明: ${\textstyle {\mathcal {F}}^{p,q}}$ を $(p, q)$ 次の $C \infty$ -級複素微分形式全体の成す細層とすれば $\partial$ に関するポワンカレの補題により系列 $\Omega ^{p,q}{\stackrel {\overline {\partial }}{{}\to {}}}{\mathcal {F}}^{p,q+1}{\stackrel {\overline {\partial }}{{}\to {}}}{\mathcal {F}}^{p,q+2}{\stackrel {\overline {\partial }}{{}\to {}}}\dotsb$ は完全である。任意の長完全列と同様にこの列を短完全列に分解し、対応するコホモロジーの長完全列を作れば、細層の高次コホモロジーは消えるのだから、所期の結果を得る。

Dolbeault, P. (1953). “Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes”. C. R. Acad. Sci. Paris 236: 175–277.
Wells, R.O. (1980). Differential Analysis on Complex Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0