ノート:ヒルベルトの第12問題

日本語化に際し

以下に『クロネッカーの青春の夢』のノート欄に記載したことを、こちらの記事へ再録します．--Enyokoyama（会話） 2014年3月21日 (金) 04:43 (UTC)

ヒルベルトの第12問題という記事を英語版より日本語化し新規作成しました．

本記事のヘッドラインにある

クロネッカーの青春の夢（Kronecker's Jugendtraum）とは、ドイツの数学者レオポルト・クロネッカーの総実代数多様体上の零点の分布に関する予想である。

との話は少し事実とことなっているように思います．下にある総実体の具体的構成については夢の一部かもしれませんが、主要な部分ではありません．円分体の部分体として実現されるということはクロネッカー・ウェーバーの定理です．主要な部分は、虚二次体のように楕円函数の特殊値（と円分体の元）を使い代数体の拡大を実現することができないかという夢ではないでしょうか．さらに、「ゼロ点の分布にかんする予想」というのは、最終的にそのようなことが結果するかもしれませんが、そのことが夢ではありませんので誤りであると思います．

全部修正する力をもっておりませんので、本記事はそのままの残すことにしますが、ご同意いただければ修正することにさせてください．また、修正方法も相談させてください．--Enyokoyama（会話） 2014年3月13日 (木) 08:16 (UTC)

本記事の影響は、ネット上では相当大きいようですし、いくつか日本語版のWikipediaの中の記事が参照しているようです．本記事の中の「総実体が円分体の部分体となり、具体的な生成する函数も提供されている」という記載の部分を生かしていく記事を探し、その後で「ヒルベルトの第12問題」へ直接転送するように改善することを考えています．しばらく時間をください．--Enyokoyama（会話） 2014年3月14日 (金) 04:57 (UTC)

本記事に掲げてある参考文献は、いづれも著名なものであり、少なくとも本タイトルと何らかの関連はあるのではあろうとは思いますが、直接、この式が出てくる、あるいはKronecker's Jugendtraumへの言及は見られないように思われます．

• A.Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge（1979）.
• G.Schmidt, Norm from equations, Ann. Math.,96,526-551（1972）.
• D.Mumford, Algebraic Geometry I:Complex Projective Varietis, Springer Verlag, Berlin（1976）.

また、記事では

• 円分体
• 二次体

の二つが、この記事の特別な脈絡で使われているわけではないようです．他の参照している記事のいくつかは、既にリンクを｢ヒルベルトの第12問題｣の方へ切り替えております．人物の記事も

• レオポルト・クロネッカー
• 高木貞治
• 志村五郎
• 竹内端三

で参照していますが、本記事に記載された特別な脈絡では参照はしていないようです．従って、元の記事はコメントで残し、｢ヒルベルトの第12問題｣へ転送するようにいたします．--Enyokoyama（会話） 2014年3月14日 (金) 11:43 (UTC)

本記事にコメントとして置いておいた以前の記事をコメントから削除します．気になっていることは、以前のクロネッカーの青春の夢の記事の中で、

Φ関数は次のように定義される関数である。

$\phi (\kappa )=\prod _{m=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {m^{2}\,n}{\kappa ^{m}\left(m\,\kappa ^{n}+n\,\kappa ^{m}\right)}}$

という部分があり、

クロネッカーはこの関数を複素数全体に拡張した場合、

$\phi (\kappa )$の根は必ず1のベキ乗根の有理整数係数の有理関数として表される

と予想した。この予想は高木貞治によって肯定的に解決された。

とあります．この部分はおそらく、クロネッカー・ウェーバーの定理(kronecker-Weber theorem)の具体的な説明をしたかったのではないかと想像されます．$x^{2}-5=0$の根が

$\pm {\sqrt {5}}=\pm (\xi _{5}-\xi _{5}^{2}-\xi _{5}^{4}+\xi _{5}^{4})$

であること、さらに$x^{3}+x^{2}-2x-1=0$の 3つの根が、$k=1,2,3$とした

$2\cos {\frac {2\pi k}{7}}=\xi _{7}^{k}+\xi _{7}^{k}$

と表されることなどは、kronecker-Weber theoremの具体的な説明です．この一般化がここで言う$\Phi$となるのではと想像しています．

また、高木貞二の名前が出てきます．これはKronecker-Weber theoremのアーベル的な一般化という観点のでは、誤っていないと思います．高木の存在定理を作成しましたので、そちらを参照ください．また、竹内端三の名前も出てきますが、クロネッカーの青春の夢の実現を具体的に虚二次体で提示したという仕事は、他の日本語版の記事に登場しますので、特に配慮しないこととしました．--Enyokoyama（会話） 2014年3月21日 (金) 04:24 (UTC)

記事の立場

本文のノート欄に記載していますが、Hilbertの第12問題を代数体上の類体構成の問題として捉えることは一般的な捉え方と考えています．新谷卓郎先生の｢数学｣1977年「代数体のL-函数の特殊値について」と題する論説の冒頭を紹介します．

（類体構成問題とは，，，）与えられた有限時代数体 k に対し，適当な解析函数 f を見出し，f の自然な特殊値を適当に k に添加することによって，k の極大可換拡大を構成せよという問題である．体が有理数体または，虚の二次体であるときには，この問題は極めて簡明かつ美麗な解答が知られている．

これ以外の体に対し、Heckeの試みたことが二つあり、

１，第一は，楕円函数の虚数乗法論の高次元化の試みで，それは後継者達の手によって今日壮麗な理論に発展し，類体構成問題にも偉大な貢献を成し遂げている．

２，第二は体 k に関するKronecker極限公式の研究，すなわち k の狭義合同類指標 χ に対するL-函数 L_k(s,χ)の s=1 における値に対する，解析的表示の研究である．

とあります．--Enyokoyama（会話） 2014年4月7日 (月) 01:22 (UTC)