ノート:三角形

非ユークリッドの公理系

いわゆる非ユークリッドの公理系でも三角形というのはあるんでしょうか？　というか、三角形なる語は用いられるんでしょうか？Tomos

三辺形と言う語は使いましたっけ？218.128.84.82

楕円幾何学、双曲幾何学では、三角形の面積は（三角形の内角の和-180°）に比例するそうです。--Sesirec 2005年11月4日 (金) 16:25 (UTC)

二等辺三角形の底辺の垂直二等分線

二等辺三角形の性質で、底辺BCの垂直二等分線は頂点Aを通るわけですが、 この線に何か名前が付いているでしょうか？ 底辺を下にしたときの「高さ」みたいなものですが。

底辺の中点をDとしたとき、三平方の定理から $AB^{2}=AC^{2}=AD^{2}+(BC/2)^{2}$ になります。これを楕円の説明で使う予定なので、二等辺三角形を見に来ました。 --HarpyHumming 19:49 2004年2月27日 (UTC)

「中線」（三角形の頂点と対辺の中点を通る線）のことでしょうか。Michey.M-test 21:11 2004年2月27日 (UTC)

なるほど。二等辺三角形用語じゃなくて、三角形一般の用語を使えばよいわけですね。この場合「垂線」でも同じですね。 --HarpyHumming 09:58 2004年2月28日 (UTC)

小さい a

質問です。この記事では、三角形の面積の公式が $S={\frac {1}{2}}ah_{a}$ となっていますが、

$S={\frac {1}{2}}ah$ と何がちがいますか？どちらが正しいのですか?また小さい　a　は何のことですか？教えてください。

--Takuhiyo 2007年12月21日 (金) 09:32 (UTC)

単に「三角形の高さを h とする」と書くと、底辺をどこだと考えているか分かりませんね。本文では、そのように迷ったりしないように「a を底辺と思ったときの高さを h_a とします」と言っているのです。b を底辺と思ったときの高さを h_b とすれば、S = 1/2 b h_b となりますし、c を底辺と思ったときの高さを h_c とすれば、S = 1/2 c h_c となります。このような説明でお分かりになるでしょうか。--白駒 2007年12月21日 (金) 14:33 (UTC)

ありがとうございました。ちゃんと理解することが出来ました。--Takuhiyo 2007年12月22日 (土) 13:07 (UTC)

合同条件「2 辺と 1 角が等しい場合には、それだけでは合同であるとはいえない」について

これについてですが、正弦定理より、合同であるといえるのではないかと思います。

三角形の三つの角をそれぞれ A B C、向かい合う辺を a b c とし、A と a b がわかっていたとする。 正弦定理

   a/sin(A) = b/sin(B) (= c/sin(C))

より、

   sin(B) = b・sin(A)/a
   B = asin(b・sin(A)/a)    ※ asin はアークサイン

A B がわかったので C も分かり、結局、二辺狭角相当となる。

でどうでしょうか。

Totobon 2004年11月4日 (木) 03:11 (UTC)

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駄文ながら、上の考え方に対する反論を述べさせていただきます。

「2 辺と 1 角が等しい場合には、それだけでは合同であるとはいえない」例として、次の例が挙げられます。

三角形ABCについて、辺ABの長さが $2{\sqrt {3}}$、辺ACの長さが 2、角ABCの大きさが $\pi /6$ である場合。

このとき、辺BCの長さは3の場合（鋭角三角形）と5の場合（鈍角三角形）が考えられ、一意に定まりません。よって、「2 辺と 1 角が等しい場合には、それだけでは合同であるとはいえない」は正しいといえます。

アークサインの部分で、鈍角と鋭角の場合わけをしなかったことが原因でしょう。

推敲が不十分なため、間違ったことを書いてしまっていたならば、お詫びを申し上げます。Totobonさんが実り多き活動をされることを楽しみにしております。

Complex01 2004年11月4日 (木) 04:08 (UTC)

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鋭角と鈍角の差異はうっかりしていました（コサインと勘違いしてました）。 ご提示いただいた例は余弦定理から検算しましたが、一致するにいたりませんでした（この検算もどっか間違っていそう）。

ですが、鋭角と鈍角の差異が明らかな二つの三角形を書くことができたので、論理的にも直感的にも納得しました。確かに、A が鋭角で B が 90度 の図を描いて、a の長さを適当に変えれば明らかでした。

Totobon 2004年11月4日 (木) 07:53 (UTC)

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ふと思ったのですが2辺と、その2辺のうちの大きいほうの対角が等しい場合には合同と言えるのではないでしょうか？

三角形ABCのA,B,C各々の角の対辺の長さを$a,b,c$とする。

$b>c$であり、$b,c$,$\angle B$の大きさがわかっているものとする。

余弦定理から$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos {B}$

これを$a$について整理すると

$a^{2}-(2c\cos {B})a+(c^{2}-b^{2})=0$

これを$a$についての2次方程式とみると、$b>c$であるから解と係数の関係より2解の積 は$c^{2}-b^{2}<0$

よって2解は異符号となる。(もちろん合同条件について考えているので前提として三角形は成立しており、2次方程式は解を持つものとする)

$a$は正数であるから$a$の値はただ1つに定まる。

つまり上の条件で三角形はただ1つに定まる。

直感的にもこの条件のもとで作図できる三角形は1つしかないと思うのですがどうでしょうか？

Methop 2008年7月28日 (月) 12:25 (UTC)

正しいでしょう。さらに、b = c の場合でも一意に定まります。ただし、それを記事に載せるかどうかは「何かの文献に載っているか」「重要な内容であるか」に依ると思います。--白駒 2008年7月28日 (月) 13:32 (UTC)

ご回答ありがとうございます。$b=c$の場合にも成り立ちますね。文献では目にしたことがないのでマイナーなのかもしれません。--Methop 2008年7月28日 (月) 19:18 (UTC)

｢面積｣の、｢1辺両端角（2角夾辺）による式｣について

$sin(B+C)$ は、 $sinB+sinC$ じゃないですか？ --119.230.105.70 2010年5月1日 (土) 05:49 (UTC)

違います。 これには公式がありまして、

$sin(B+C)=sin(B)*cos(C)+cos(B)*sin(C)$

とのものです。

したがって、間違っています。

ちなみに、他の公式も記入しときます。

• $sin(B-C)=sin(B)*cos(C)-cos(B)*sin(C)$
• $cos(B+C)=cos(B)*cos(C)-sin(B)*sin(C)$
• $cos(B-C)=cos(B)*cos(C)+sin(B)*sin(C)$
• $tan(B+C)=tan(B)+tan(C)/1-tan(B)*tan(C)$
• $tan(B-C)=tan(B)-tan(C)/1+tan(B)*tan(C)$

なぜこの公式が成り立つのは知りませんのでより詳しい方にお聞きください。

--さかみやり（会話） 2019年3月10日 (日) 00:44 (UTC)

また

• $S={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}$
• $S={\frac {a^{2}}{2(\cot B+\cot C)}}$

と書いていますが、この公式に当てはめると 下の式が

• $S={\frac {a^{2}}{2(\cos B+\cos C)}}$

になりませんか？

違っていればすみません。 --さかみやり（会話） 2019年3月10日 (日) 01:01 (UTC)

なりません。--白駒（会話） 2019年3月10日 (日) 03:40 (UTC)

1. IP氏の質問は、「$\sin(B+C)$ は $\sin B+\sin C$ の間違いではないか」という趣旨だと思っていました。その前提で回答すると、間違っていません。正弦定理を利用して変形すると「2辺夾角による式」になります。質問者は $\sin(B+C)=\sin A$ が自明なので $\sin A$ と書かないことを疑問に持ったのではないかと推測します。
2. さかみやり氏の疑問に関しては、分母を和の公式で展開した後に上下を $\sin B\sin C$ で割れば自明です。

-PuzzleBachelor（会話） 2019年3月10日 (日) 04:13 (UTC)