ノート:六万五千五百三十七角形

作図法の「逸話」について

本項が立っているのを見付けて吹き出してしまいました。フェルマー数か定規とコンパスによる作図へのリダイレクトでよいのではないか、とも思いましたが、MathWorld では単独記事になっていますので、あってもよいのかもしれません（二百五十五角形などはリダイレクトにしました）。さて、遠山啓『数学入門』における話ですが、これはジョークか都市伝説の類だと私は認識しています。誤解の生じないように訂正するか、いっそのこと除去するべきではないか、と思います。万一本当の話であれば、具体的な人物名や大学名を挙げるべきでしょう。MathWorld には、Hermes という方が10年ほどかけた、とあります。『数学入門』における話はこれが少々誇張されたものなのかもしれません。--白駒 2010年2月12日 (金) 15:28 (UTC)

（追記）Hermes については英語版にありました（→ en:Johann Gustav Hermes）。 200ページ… --白駒 2010年2月12日 (金) 15:40 (UTC)

逸話は修正が利くと思いますが, 数学的な性質に関しては「簡単さ, 一般の n で考えて, n に～を代入すればいいんだよ」という数学ジョーク顔負けな状況で, 非常に内容が乏しいので何か考えたほうがいいかもしれませんね. 某所で作図できるんなら作図アニメーション作れというようなことを言ってた人がいたりしたかもしれませんが, たぶん「あとはこれを繰り返せば」に至るまでに二代目の Hermes さんが誕生しかねない事態になるんじゃないかなあという感想を持ちました (たぶん. いや知らんし調べてもいないし, やるつもりもないので, 実は楽勝でしたとかはあるかもしれないけど).

遠山やら根上やら聞くと, いかにも胡散臭い誇張がちりばめられていて, 一般人受けはするかもしれないが資料としてはちょっと……, と言いたくなります (いいこと言ってる部分ももちろんたくさんあるけれども, だからといって, いろんなところで鵜呑みにしちゃ拙いだろというのがあるという意味で, です. 念のため). 誇張しないと興味すら持たない一般人が悪いのか, 興味を持たせるためにはなりふり構わず面白おかしく誇張する (あるいは誇張してもいいけど誇張だと注釈を入れておかない) 著者が悪いのか, そもそも一般人の興味を惹かない数学という存在が悪いのか, 頭が痛い問題です.

個人的には単独項目として立てるのが適当であるとは思わないのですが, 単独項目で行くなら記事名はいわゆる (?) 「どこからが n なの問題」ですけど, 算用数字であるほうが適当ではないかという気がします (さすがにここまでいくと三角形や四角形のような熟語というかある種固有名詞的なものでもないし, なにより極端に読み難いので).

ま, そんなこんなな脱線話はともかく, 事情としては数プロジェクトが想定する記事群と類似案件であるとおもいますので, 処置に関しては白駒さん (ら?) に一任したいと思いますが. --2010年2月12日 (金) 18:12 (UTC)

この図形は作図可能、とのことですが、どうやったら書ける、がないのですか？文の方を読んでも、「こういう数だから」という表現ですね。なぜこういう数なら書けるのか、というのはないんですか？例えば１番目の角を取るにはこうする、とか有ればいいのに、と思うんですが。そういうｍのではないのでしょうか？有ったら、私も珍項目に賛成します。というか、まず推薦してましたね。--Ｋｓ 2010年2月12日 (金) 22:23 (UTC)

「存在する」ことだけが証明できて、実際にどうすれば見付けることができるのかは分からない、ということは、数学においてはよくあることなのです。ガウスが正十七角形の作図法を思い付いて数学の道に進むことを決めた、というのはよく言われることですが、正確には「具体的な作図法」を思い付いたのではなく、「作図法が存在することの証明」を思い付いたのです。このとき彼は、n が「2の冪に1を足した形の素数」であるならば、正 n 角形が作図可能であることを示しました。この業績に比べれば、具体的な作図法は数学者たちから一段低く見られる傾向があります。数学的なジョーク#数学者ってこんな人？には、数学者は「思いつきさえすれば具体的な行動はとらない」とありますが、この辺りの事情を揶揄しているのでしょう。Hermes さんが具体的な作図法を示している、ということは今回私も初めて知りましたが、200ページを超えるとのことで、この記事に簡単に紹介できるものでもないでしょうし、そもそもきちんと検証されているかどうかも怪しいものです。--白駒 2010年2月12日 (金) 23:40 (UTC)

最初の頂点の複素座標を実際に求めた方がいるようです。頭が下がります。具体的な方法はとても記事に載せられる代物ではありませんね……--Kyoku 2010年2月13日 (土) 07:03 (UTC)

何か雑談になってきましたが… 実部の小数第23位から間違っているようです。丸め誤差をうまく扱えていないのではないかと思います。--白駒 2010年2月13日 (土) 08:25 (UTC)

（インデント戻します）いや、全過程を書いてほしいとはもうしませんが、どうも繰り返しをやってるみたいではないですか。何を求める操作を繰り返しているのですか？そしてそれによってなぜ辺の長さが決められるんですか？そういうのは説明できないものでしょうか。--Ｋｓ 2010年2月13日 (土) 07:45 (UTC)

少なくとも私の力では、Ｋｓさんの御希望には沿えないようですが、もう少し説明を試みてみます。例えば、en:Heptadecagon に正17角形の頂点の座標にあたるものが、根号の中に根号、その中にまた根号、という形で表されています。「繰り返し」に見えるのはそういう理由かもしれません。この数の表現をコンパスと定規の言葉に置き換えれば、原理的には作図法が導けます。ただし、そのレシピは効率的とは程遠い可能性がありますし、単純な繰り返しでもありません。『定木とコンパスで挑む数学』ISBN 978-4061329867 に原理的な話、正五角形の作図法が載っていたように記憶していますので、理解の助けになるかもしれません。--白駒 2010年2月13日 (土) 08:25 (UTC)

何しろ数学の力がないのでわかりませんが、出来ないというのであれば残念がるだけです。改稿のおかげでずいぶん読み応えが出来たのはうれしいことです。ご迷惑をおかけしました。--Ｋｓ 2010年2月13日 (土) 11:16 (UTC)

いまだにＫｓさんが求めている内容がどういうものなのかよくわからないのですが, もしかしてこれとかこれ (PDF注意) とかこれ (PDF注意) の特に命題4.3あたりあるいは5節とかこれ (PDF注意)とかに含まれているでしょうか. もしそうならば, それは個別の多角形記事が担当するようなものではないように思います. これら例示を探して検索していたところ, 筑波大学の代数学演習科目のページに正17角形の作図についての解説やヘルメスの論文への言及などもありますので, もしかしたら記事の参考になるかもしれません (私が書くという意味ではありません, 為念) が, むしろいくつか読んでもらって, なぜ我々が「65537角形とか無理」といいたがるかということに多少なりと共感をしてくれたらありがたいかなあと思わなくも無いです. --2010年2月18日 (木) 09:57 (UTC)

「逸話」を挿入した者です。このような議論になっていたこと、少々驚きました。私も『数学入門』の話はジョークであろうと考えていた（テキストにも大学名や人名はありませんでしたので）のですが、そのことを一言入れるべきでしたね。うかつでした。--114.177.124.61 2010年2月14日 (日) 10:20 (UTC)

改めて『数学入門』を確認しました。「真偽のほどは保証できないが」と一応の断りがあり、大学は「ゲッティンゲン大学」とあります。やはり Hermes さんを意識した作り話の線が濃厚であるように思いました。確かに面白い話で、私も強烈に頭の隅に残っていたものですが、この記事で丸々紹介する必要もないと思います。--白駒 2010年2月16日 (火) 21:25 (UTC)

改稿

今、いちから書き直している最中です。御報告まで。--白駒 2010年2月13日 (土) 08:25 (UTC)

改稿しました。一部 en:Johann Gustav Hermes や de:65537-Eck などを参考にしていますが、丸写しではありませんので、履歴は継承していません。--白駒 2010年2月13日 (土) 10:28 (UTC)

素数

素数に限らなければ、無限に数の大きな正多角形は作図可能ですよね？--КОЛЯ 会話 2010年2月17日 (水) 15:35 (UTC)

辺の数が2の冪と相異なるフェルマー素数の積に素因数分解できることが必要十分条件です。要するに、例えば正三角形が書ければ、外接円の弧を半分に切っていって正六角形、正十二角形、正二十四角形、正四十八角形…を書くことは簡単です。ですから、おっしゃるとおり「いくらでも辺の多い正多角形を作図すること」はできます。

一方、素数でなければ良いかというとそんなことはなくて、例えば正九角形、正十四角形、正二十二角形のようなものは作図できません。詳しくは定規とコンパスによる作図#作図可能な正多角形をご覧ください。--Kyoku 2010年2月17日 (水) 16:26 (UTC)

コメントありがとうございます。本文の説明の仕方が、今ひとつ焦点がぼやけてる気がしたものですから……2^16である正65536角形であれば、作図する方法を説明することが比較的簡単にできるでしょう。しかし正65537角形だとどうして特筆性があるのか、正65538角形だと作図できるのかできないのか（できなくても驚きませんが）、といったあたりが今ひとつ素人には想像できないわけです。うっかりすると「定規とコンパスで作図可能な最も辺の数の多い正多角形」であるかのように誤解しかねないのです……--КОЛЯ 会話 2010年2月18日 (木) 10:26 (UTC)

とりあえず、早合点する前に記事をちゃんと読んで頂きたい所です。作図可能性の節を読んで頂ければ正65538角形(65538=2*3*3*11*331)が作図できないことはすぐにわかるはずですし、正65537角形が「今のところ知られている定規とコンパスで作図可能な最も辺の数の多い正素数角形」であることもちゃんと書かれています。どこそこの表現が誤解を招くという指摘ならともかく、流し読みして誤解したからといって「焦点がぼけている」というのは当たらないでしょう。--Kyoku 2010年2月18日 (木) 15:14 (UTC)

「正素数角形」という記述が、本記事には書かれていないでしょう。また「n がフェルマー素数ならば正 n 角形は定規とコンパスで作図可能」とは書かれていますが、そうでない条件の場合に可能なのか可能でないのかということは書かれていませんね。もし定規とコンパスによる作図#作図可能な正多角形を見ればわかるじゃないかとおっしゃるのであれば、今度は本記事に作図可能性節がある意義がわからなくなります。 「誤解を招く」ということでしたら「特筆すべきは、正65537角形は定規とコンパスによる作図が可能、ということである。」という記述は誤解を招きます。なぜならまるでこのくらいのオーダーの正多角形ではふつう作図が不可能であるかのように読めるからです。早合点というのは、人間が自然言語を扱う上で語用論的推論を行う以上避けられないことです。--КОЛЯ 会話 2010年2月18日 (木) 17:38 (UTC)

「早合点してしまう」との批判に応え、冒頭に説明を加えてみましたが、いかがでしょうか。かえって分かりにくくなっただけのような気もしますので、不要なら消してください。個人的には Kyoku さんと同様に「きちんと読めば分かるでしょ」と思いますし、「(文献等で) きちんと証明を読まなければ本当のところは分からない」とも思います。「本記事に作図可能性節がある意義が分からない」との批判について。他記事に書いてあることを重複して書いてはいけないこともないし、他記事に書いてあることをわざわざ全て書く必要もないと思います。--白駒 2010年2月18日 (木) 21:50 (UTC)

きちんと読んでも他記事を参照しなければわからなかったのですが、ご加筆によって満足しました。ありがとうございました。--КОЛЯ 会話 2010年2月21日 (日) 06:00 (UTC)

КОЛЯさんは勘違いをされているようですが、「このくらいのオーダーの正多角形ではふつう作図が不可能であるかのように読めるからです」これは正しいです。作図できる正多角形の方が圧倒的に稀で、例えば正三角形～正10万角形までの間に作図可能な正多角形はわずか145種しかありません[1]。0.145%です。「ふつう作図が不可能」と読めたのならば、記事の意図は正しく伝わっています。--Kyoku 2010年2月20日 (土) 16:11 (UTC)

正多角形は無限にありますか？

正多角形は無限にありますか？

Keita25252（会話） 2016年11月19日 (土) 12:09 (UTC)

ウィキペディアへようこそ。へのいちと申します。

正多角形は無限にありますよ。正100角形でも、正1000角形でも、一般的にいって、どんなに大きな整数nに対しても、正n角形があります。その意味で正多角形は無限にあるといえるでしょう。

他の意味では、正多角形は Keita25252 さんの手元のノートに描くこともできますし、私の手元の画用紙にも描けますし、この世の中に無数にあるといえるでしょう。その意味でも正多角形は無限にあるといえます。

ご質問はおそらく初めの意味の質問かと思いますが、下の意味にも受け取れますね。ところでウィキペディアは なんでも質問サイト ではないので、こういった質問はあまり歓迎されません。そのままずばりの「正多角形は無限にありますか？」という形の質問でなく、「正多角形は無限にあるのかを調べたいのですが、ウィキペディアの中に役立つページはありますか？」というような質問であれば、「Wikipedia:調べもの案内」というページで受け付けています。たのしいウィキペディアライフを。 --へのいち（会話） 2016年11月20日 (日) 04:16 (UTC)

珍項目における紹介文

Wikipedia:珍項目における紹介文が

定規とコンパスによる作図が可能とされる多角形。作図方法は不明。

となっていますが、ちょっと気になります。作図方法は原理的には導くことができるのですから、「不明」というのは語弊がある気がします。また、作図可能であることは疑いなく証明されているのですから「可能とされる」と婉曲にする必要はないと思います。

定規とコンパスによる作図が可能な正多角形。作図方法は200ページを超える?

くらいでいかがでしょうか。ユーモアのセンスに自信がないのですが… --白駒 2010年2月18日 (木) 21:50 (UTC)

（報告）提案通りにしました。別に決定版ではありませんので、他に良い案がありましたらどうぞ。--白駒 2010年2月23日 (火) 13:27 (UTC)

定規とコンパスによる作図が可能な正多角形。ただし具体的な作図方は誰も知らない？

はどうでしょう？--Ｋｓ 2010年2月23日 (火) 13:41 (UTC)

「（原理的にできるといいながら）誰も具体的に作図しようとしない」ことを無理に皮肉ろうとすれば, 結局白駒さんのご指摘がそのまま当てはまってしまうのではないかと思います。相当に面倒くさくしかも相当に面倒くさいだけということが判りきっている（やったところで見返りは期待できない、あっても膨大な時間を浪費したことに見合うものには程遠い）ので、だれもやりたがらないのです。どうせ面白おかしく紹介するなら、それこそ某「逸話」のように、「人生を棒に振ってでも作図してみたくはないか」というような方向でいってみてはどうでしょうか（といっても、正65537角形を作図したいだけなら、定規とコンパスという強い制限のもとでではなく、もっと強力な道具を使えばいいわけですが。計算機に書かせるならどうせ有限精度の近似値がでればいいのだから、定規とコンパスのみというのにくらべれば非常に容易にかけてしまうことになる）。--2010年2月23日 (火) 15:26 (UTC)

うーん、「不明」と同様に「誰も知らない」も語弊があると感じます。私の感覚では「知っているも同然」だからです。浮世離れした感覚なのかも、と思わないでもありません。「人生を棒に振って…」は主観が入り込み過ぎている気がします。以前指摘しましたように、数学者たちから一段（も二段も）低く見られる向きはありますが、円周率の暗唱なんてことに入れ込む方もいらっしゃるように、何が有意義な人生かは各々が決めることでしょうから。折角考えて下さっているのに文句ばかりで済みません。 --白駒 2010年2月23日 (火) 21:35 (UTC)

メモ

この編集につきまして、主題からすると枝葉の話であり間違いでもありませんので、私から記事本文に何かアクションを起こすつもりはありませんが、事実関係および元の文の意図を記しておきます。◆Disquisitiones Arithmeticae が出版されたのは確かに1801年ですが、当該事項が示されたのは、かのガウス日記のおかげで日にちまで正確に分かっており、1796年3月30日です。このことは『近世数学史談』ほか、多くの文献に記された有名な話です。◆Disquisitiones Arithmeticae では「フェルマー素数なら作図可能」が示されており、逆の証明は載っていません。このことをもって、「ガウスは逆を予想しただけで証明していない」とする文献が多々あり（例えば MathWorld）、私が元々書いたぼかした文はこの見解に配慮したものです。個人的には、ガウスが示した方が数学的に面白い部分で、逆は現代的な体論のことばに翻訳すればほぼ自明なことであり、ガウスが逆を示していない、というのは表面的な解釈で賛成できません。Disquisitiones Arithmeticae の365節の最後には「この著作に課されている大きさの限界のために、ここでこの証明を報告するゆとりはない」（高瀬訳）とあり、小野孝『数論序説』19節には、ガウスが示した方を指して「この方が重要である」とあります。--白駒 2011年4月1日 (金) 14:05 (UTC)