ノート:自然数
振り仮名 編集
自然数の項目を見ていて気付いたんですが、100を超えると振り仮名を振ってない数字が散見されます（109、137～139など）。つけるなら全部につけたほうが良いと思うのですが、数が多いので他の方にもやって頂きたいです。それで振り仮名の付け方が漢字表記を併記しているもの、ひらがなだけのものとがあるのですが、どちらに従ったほうが良いのでしょうか。--草薙 2008年3月24日 (月) 17:18 (UTC)
自然数の定義 編集
自然数の定義は、正の整数は良いのですが、肝心の正の整数の定義が、整数には見当たらないですね。(無理に書いてくださいとは言いませんが…)早く記述されることを望みます。 さて、自然数を論じる際に、
- 自然数は0を含む。(←数学家はこちらが多いのかな???)
- 自然数は0を含まない。(←主に高校までで教えられるのはこちら)
の両方のケースがあるように思うのです。この件について詳しい方、記述をお願いします。G 13:17 2003年3月21日 (UTC)
自然数は現代数学では0を含むのが普通ですが、その名前からか「自然に数えられる数」として高校などで教えられており、数学の世界でも0を含まない定義で書かれている論文等もあるようです。中立的な立場を保つには両方記述がいいのではないでしょうか？時代背景まで分かるといいかと思うのですが・・・suisui 15:45 2003年3月21日 (UTC)
高校まででは、1以上の整数を自然数と教育されることを明記しました。このような事実は、数学界の現実と教育の違いという視点から考えると必要と思うので…G 02:31 2003年3月22日 (UTC)
正の整数の定義について。 自然数をもとに整数が定義されているようなので、正の整数の定義は不要だと思います。 自然数の定義は書いてあるようですし。Hoge- 05:55 2003年3月22日 (UTC)
手近な代数学の教科書では、例えばM.Artinの「Algebra」は、自然数を1から始まるものとして、Peanoの公理が書いてあります。Maclaneの本は0からだと書いてあります。意外なところで広辞苑では、1からと書いてあってその後に0を含めることもある、という記述です。フランス人は自然数を0からと考える、というのを聞いたことがあるのですが、どうなんでしょうか。案外数学の世界でもいろいろ混ざっていると思います。Ideal 18:54 2003年4月27日 (UTC)
- 数学辞典（第3版）では、Ｐｅａｎｏの公理を「１」を自然数の始めの数として説明しています。Wikipediaの日本語版（と英語版も）では０から始めています。Ｐｅａｎｏの公理の説明が、０から始まるものと１から始まるものがあるのは不思議なので、どちらかが本物で、他方は変形版なのではないでしょうか？Sina 2004年9月11日 (土) 02:12 (UTC)
- Peano の公理で本質的なのは「最初の数が有る」ということで、それが 0 か 1 かは単に記法の問題と思います。「最初の数が 0 か 1 か」が問題になるのは順序や加法、乗法といった構造を自然数に入れるときではないでしょうか? Zaraki 2004年9月14日 (火) 16:35 (UTC)
- 歴史的事実として、Peano自身が記述したのは０か１かのどちらかではないか・・・と思ったのですが。０でも１でもどちらでもよいならば最初の記述のままでよいと思いますが、何かわけがあるのでしょうか。「代数系入門」（松坂和夫著）では０から始めていて、「代数的構造」（遠山啓）では１から、「はじめての数論」（J.H.シルバーマン,鈴木治郎訳）では自然数は１から、と様々ある印象を受けました。Sina 2004年9月15日 (水) 14:40 (UTC)
- 本によって様々あるのは、おそらくそれらの本の「公理」以外の部分と整合性のあるように記述しているためだろうと思います。Peano の公理は「自然数に 0 を含めるかどうか」という立場に応じた記述をすればよく、 Peano 自身のオリジナルな記述に合わせる必要は必ずしも無いと思います。自然数に対する立場が首尾一貫している方が、読んで理解しやすく、かつ、誤解を生じにくいと考えるためです。
- ただ、歴史的事実として Peano 自身がどう記述したか、というのは百科事典として収録していておかしくない情報と思いますので、ペアノの公理の記事の中にオリジナルな記述を書き、自然数の記事の中では、「ペアノ自身のオリジナルな定義はペアノの公理を参照のこと」と、一言ふれておくというのが良いでしょうか。
- なお、「自然数に 0 を含めるかどうか」というのは「Peano のオリジナルな記述」とは無関係に議論すべき問題と思います。私は 0 を含める現行の立場に賛成ですが、その理由は以下の通り。
- 百科事典の記事として自然数を記述する場合、集合論的な自然数の構成についても書く必要があるだろう、その場合、空集合と 0 を対応させるのが自然であり、記事を書きやすい、よって Wikipedia の立場としては(きちんと両論併記した上で) 0 を含めるとするのが良いのではないか。
- Zaraki 2004年9月16日 (木) 03:49 (UTC)
0 を自然数に含めるかどうかの議論は収束したようなので、表のページの
- （議論の余地はあり。反論はノートへ）
はそろそろ削っても良いのではないでしょうか。 もちろん、ノートページでの議論をいかなる形でも制限する意図はありません。 表の項目の中に明示的に残しておく理由はそろそろ無くなったのではないか、ということです。 --Zaraki 2004年9月26日 (日) 04:03 (UTC)
- 特に反論が無いようでしたので、削りました。--Zaraki 2004年10月3日 (日) 15:34 (UTC)
今気づきましたが、下方一覧に0から10で11項目あるのですが。 その辺はどうするのでしょうか。218.128.84.82
- 0-9区切りが良いのか、1-10区切りが良いのか、他の方のご意見を待ちたいです。個人的には1-10を推します。
- もし、現在のように1-10区切りにするなら、0は1-10の前に別行として孤立させて書くのもあり、かもしれません。もともと少し位置づけも特殊なわけですし。Yugui 15:53 2003年9月6日 (UTC)
- 同じく1-10を推します。0という整数が自然数に含めて考える立場とそうでない立場があるわけですから、別格の扱いとして別行に書いたほうがよいように感じます。。Num 00:28 2004年8月26日 (UTC)
- こちらへの記載が遅くなりましたが、関連項目の中の 0 は 1 ～ 10 と分離しておきました。 --Zaraki 2004年9月26日 (日) 04:03 (UTC)
0を自然数に含めるのは、Zero-Originの考え方に基づくものでしょう。たとえば割り算の余りを考えるときには都合がいいのです。C言語の配列の添え字が0から始まる（char a[10];としてもa[0]〜a[9]までしか使えない）のも利便性に寄るものだと思います。
ただ、普通に物事を数えるときに、たとえば本を書くときに「第0章」って書く人は稀か、奇をてらっていると思います。Natural Numberという言葉の意味としては0を含まない方が自然なのではないでしょうか。 keta 08:53 2004年4月30日 (UTC)
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... , n, ...}
付け足してよいでしょか＞いろいろと議論がありそうですがJYOQ2 2004年7月13日 (火) 08:13 (UTC)
「英語で Natural Number と呼ばれているものの訳語である（しかしどの言語から訳されたのかは未詳）。」の一文を削りました。一年以上も未詳のままでしたし、私も図書館などで調べてみたものの結局分かりませんでしたので、近いうちに書き直されることはないと判断しました。 英語の Natural number に対応する言葉である、という以上の「元々どの言語から訳されたのか」という情報は、分かるならばもちろん書けばよいと思いますが、分からないなら特に言及する必要はないと考えましたので。--Zaraki 2004年10月25日 (月) 01:46 (UTC)
形式的な定義の中で「（通常の意味で）」という表現が出てくるのですが、どういう意味なのかあいまいで好ましくない表現であるような気がします。yhr 2004年11月19日 (金) 23:43 (UTC)
- 個数や順序については定義していない段階で「n 個」とか「n < m」等と表現しているために、形式的な定義はしてないけど通常自然数の個数とか大小関係として想定される意味で「n 個」とか「n < m」と言ってますよ、というくらいのつもりです。英語版を訳したときに (in the naïve sense) とあったのに対応しています。
- 意味するところが曖昧というのは、そうかもしれません。上述の意図をもっと上手く表現できればよいのですが、現状の「通常の意味で」というのでも無いよりはマシかと私は思います。無い方が良いという意見が多いようなら、削除に反対はしません。 --Zaraki 2004年11月20日 (土) 07:10 (UTC)
- わかりました｡そう言う意味ならば僕は、単純に消してしまうことには反対です。ただ、何かいい表現がないか考える必要でしょう。こういう説明の得意な方がいらっしゃると良いのですが…yhr 2004年11月20日 (土) 09:16 (UTC)
全体数という言葉が使われてたので、適切と思う位置に文を移動しましたが、これはどの程度一般的な用語なのでしょうか？ 英語版においては whole number というのは
- The term whole number is used informally by some authors for an element of the set of integers, the set of non-negative integers, or the set of positive integers.
と述べられていて、必ずしも「0 を含めた自然数」という意味ではないようですが。 Google で調べた限りではあまりハッキリしたことがわかりませんでした。 --Zaraki 2004年12月18日 (土) 10:06 (UTC)
- 私も耳にした覚えがなかったので、使われている文献などを紹介していただければなぁと思っていたところでした。- [[利用者:Kk|Kk@「Wiki Way」紹介中]]
- 特に根拠がないようであれば、全体数に関する記述は削っても良いのではないかとおもうのですが、如何でしょうか?言葉の定義に関する記述は特に厳密さを心がけるべきだと思いますので、使用例や専門家の意見などの根拠の無い記述は無いほうが良いかと。 --Zaraki 2005年1月22日 (土) 22:41 (UTC)
- 反論がないようなので、全体数に関する記述を削除しました。--Zaraki 2005年2月1日 (火) 14:24 (UTC)
英語版から自然数の歴史と零の地位を訳したのですが、きちんと訳せた自信の無い文も有ります。 それらについては原文をコメントに残しておりますので、詳しいヒトがいましたら訂正などしてくれれば、と思います。 自然数に 0 を含めるかどうかについての記述も移動しましたが、この点についても意見などあればお願いします。 --Zaraki 2005年1月23日 (日) 01:10 (UTC)
「自然数は「後者関数について閉じていて、0を含むあらゆる集合の共通部分」として定義される。」みたいな方法は ZF で許されてるんでしたっけ？ 英語のページにも同じように自然数が定義されてるけど、英語の「無限の公理」の中では別の方法が書いてあるようです。専門じゃないのでよく分かりませんが。--Kik 2005年9月21日 (水) 16:04 (UTC)
- 少し調べて書き直してみました。間違ってたら戻してください。--Kik 2005年9月21日 (水) 16:58 (UTC)
非専門的な文脈において、正の整数ないしは負でない整数として説明されることもあるが、数学的には整数自体が自然数の拡張として定義されるので厳密な定義ではない。
とありますが、整数を先に定義して、正の整数を自然数と定義する流儀もあります。例えば、高木貞治の『数の概念』（岩波書店）ISBN 4-00-005153-9 や、ランダウの Foundations of Analysis, Chelsea Pub Co. ISBN 0-8218-2693-X です。--Ttwo 2008年4月6日 (日) 02:30 (UTC)
- 高木貞治の本がその流儀であることを確認しました。上記の文は少し表現を変えて、文献を示すのが適当だと思います。ただ、私は基礎論についてほとんど何も知りませんので、流儀の違いが何かに影響するかどうかは分かりません。--白駒 2008年4月8日 (火) 13:07 (UTC)
- 高木貞治の『数の概念』は確かに整数を先に定義していますが、その部分については前書きではっきりと「普通とは違うアプローチをとった」と断ってあります。また、この本を「専門的な文脈」として紹介するのにはちょっと疑問もあります。彼自身が前書きでふれているように、数の概念の基礎的なところを敷居を低くして「楽しく」伝えたいという趣旨のようですし、どちらかというと現在の記事で断られているような「非専門的な文脈」に属する本なのではないかと思うからです。
- ところで、
Kikさんがもう一つTtwoさんがあげられている Foundations of Analysis の方もみてみましたが、そちらは自然数が一番最初に定義されているのではないですか？（ドイツ語は読めないので以下は英語版からの推察になりますが）ドイツ語の原書で第一章のタイトルが確かに (integer、整数を連想させる) Zahlen となっていますが、「1を successor とするような数はない」という公理にもあるようにその章で扱われているのは実際には自然数 (natürlichen Zahlen) で、負の数が実際に出てくるのは第4章のはじめの定義43なのではないでしょうか。もう一度ご確認ください。--Makotoy 2008年4月9日 (水) 05:28 (UTC)
- ご確認ありがとうございます。確認してみたら、ランダウの Foundations of Analysis については私の記憶違いでした。ご指摘の通り、第1章が Natural Numbers で確かに自然数から始まっていますね。高木貞治の『数の概念』の序文で、ランダウの『解析の基礎』に触れているので、混同してしまいました。(^^;)お手数をお掛けして、どうも済みません。--Ttwo 2008年4月9日 (水) 14:18 (UTC)
- 自然数と整数との関係について、少し表現を変えて記述してみました。内容や表現などご確認ください。--Ttwo 2008年4月27日 (日) 02:39 (UTC)
¶形式的な定義 について, これはペアノの公理と記述内容がほぼ同一であり冗長です。パラグラフごと削除しペアノの公理へリンクしてはどうでしょうか。--Sillycrown 2011年10月16日 (日) 17:38 (UTC)
- 私は冗長とは思いません。当項目でこれを書かずに何を書く、というほどのものですので、単なる削除には反対します。Template:Main を用いるくらいが妥当かと思います。--白駒 2011年10月20日 (木) 14:40 (UTC)
必要? 編集
なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。
というのは、日本語一般に当てはまる話なので、この項目に書く必要はないと思うのですが。（「ポチは犬である」が「うちのポチは犬という概念そのものである」という意味でないかどうかを文脈から判断する必要があるのは当然です）--111.110.236.214 2015年10月14日 (水) 12:27 (UTC)
- 私としては、この文章自体の意味が分かりません。例えば、「その一群」を全ての自然数の平方根の集合とした場合、「2の平方根や5の平方根も自然数と呼ぶ場合もある」、ということでしょうか。なおこの記述は[[4]]から表れます。--虎子算（会話） 2015年10月15日 (木) 05:10 (UTC)