ハイネ・カントールの定理

ハイネ・カントールの定理（英語: Heine–Cantor theorem）とは、次のような定理である。

M をコンパクトな距離空間、N を距離空間とする。このとき、任意の連続関数 f  : M → N は一様連続である。

微分積分学における言明

微分積分学では次のように表現される。

定理　有界閉区間 I 上の連続関数 f : I → R は一様連続である。

証明

実数 $\varepsilon >0$ を任意に取る。連続性より、各 $x\in M$ に対して $U_{x}:=f^{-1}(D_{N}(f(x);\varepsilon /2))$ は $x$ を含む $M$ の開集合である。ここで $D$ は開球を表す。$D_{M}(x;2\delta )\subseteq U_{x}$ となるような $D_{M}(x;\delta )$ たちの全体は $X$ の開被覆を成す。$X$ はコンパクトだから有限部分被覆 $\{D(x_{i};\delta _{i})\mid i=1,\ldots ,n\}$ が取れる。$\delta :=\min _{i}\delta _{i}$ と置く。いま $x,y\in M$ について $d_{M}(x,y)<\delta$ と仮定する。ある $i$ に対して $x\in D_{M}(x_{i};\delta _{i})$ である。よって三角不等式より $y\in D_{M}(x_{i};\delta +\delta _{i})\subseteq D_{M}(x_{i};2\delta _{i})$ である。ここから $x,y\in U_{x_{i}}$ が分かる。すなわち $f(x),f(y)\in D_{N}(f(x_{i});\varepsilon /2)$ である。三角不等式から $d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon$ が分かる。

関連項目

• エドゥアルト・ハイネ
• ゲオルク・カントール