ハイネ・カントールの定理

ハイネ・カントールの定理とは、次のような定理である。

Mコンパクト距離空間N を距離空間とする。このとき、任意の連続関数 f  : M → N は一様連続である。

微分積分学における言明編集

微分積分学では次のように表現される。

定理 有界閉区間 I 上の連続関数 f : IR一様連続である。

証明編集

実数   を任意に取る。連続性より、各   に対して    を含む   の開集合である。ここで  開球を表す。  となるような   たちの全体は  開被覆を成す。  はコンパクトだから有限部分被覆   が取れる。  と置く。いま   について   と仮定する。ある   に対して   である。よって三角不等式より   である。ここから   が分かる。すなわち   である。三角不等式から   が分かる。

関連項目編集