ハーディ=リトルウッドの不等式

数学解析学の分野において、ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディジョン・エデンサー・リトルウッドの名にちなむハーディ=リトルウッドの不等式(ハーディ=リトルウッドのふとうしき、: Hardy-Littlewood inequality)とは、fgn 次元ユークリッド空間 Rn 上で定義される非負の可測 実函数で、無限大で消失するものであるときに成り立つ次の不等式のことをいう。

ここで f*g* はそれぞれ f(x) と g(x) の対称減少再配分である[1][2]

証明編集

レイヤーケーキ表現より、次が成り立つ[1][2]

 
 

ここで   は次の部分集合 E f指示函数を表す:

 

同様に   は次の部分集合 E g の指示函数を表す。

 

すると、次が成り立つ。

 
 
 
 
 
 
 

関連項目編集

脚注編集

  1. ^ a b Lieb, Elliott; Loss, Michael (2001). Analysis. Graduate Studies in Mathematics. 14 (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0821827833 
  2. ^ a b Burchard, Almut. A Short Course on Rearrangement Inequalities. http://www.math.toronto.edu/almut/rearrange.pdf