数学、特に体論において、ヒルベルトの定理90 (Hilbert's Theorem 90) は、巡回拡大に関する重要な定理である。

ステートメント編集

K/kn 次巡回拡大で、そのガロワ群G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、ノルム NK/k(β) が 1 であることと、ある 0≠α∈K が存在して β=α/σα となることは同値である。

加法版編集

K/kn 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、トレース TrK/k(β) が 0 であることと、ある α∈K が存在して β=α−σα となることは同値である。

群コホモロジーを用いた表現編集

K/k有限次ガロワ拡大G をそのガロワ群とする。このとき

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が成り立つ。

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K/k を2次拡大  とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。

 

K の元   はノルム   を持つ。 ノルムが1の元は   の有理数解,もしくは単位円上の有理数点に対応する。 ヒルベルトの定理90によるとノルムが1の元 y は整数 cd で次のように表すことができる。

 

これは単位円上の有理数点のパラメーター付けを表している。 単位円 上の有理数点  を満たすピタゴラス数 を表す。

関連項目編集

参考文献編集

  • Serge Lang (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211 (Rev. 3rd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. 
  • 桂利行『代数学III 体とガロア理論』東京大学出版会〈大学数学の入門3〉、2005年。ISBN 978-4-13-062953-9
  • 雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』日本評論社、2010年。ISBN 978-4-535-78660-8