フルーリーの多重複素数

数学における多重複素数（たじゅうふくそすう、英: multi­complex number）𝓜ℂ_n は、Norbert Fleury が (Fleury, Rausch de Traubenberg & Yamaleev 1993) で導入した、任意の自然数（0 を含まない）n ∈ ℕ^* に対して定義される超複素数系の系列で、それぞれ ℝ 上 n-次元の可換結合多元環を成す。

定義

一つの元 e は eⁿ = −1 を満たし、かつその冪からなる有限列 (1, e, e², …, eⁿ⁻¹) は線型独立とする。このとき、𝓜ℂ_n は、この列を生成系とする実多元環として定義される。

代数的性質

• 各代数 𝓜ℂ_n は一般化クリフォード代数の例になっている。
• eⁿ + 1 = 0 であるから、各代数 𝓜ℂ_n は商多元環 ℝ[X]/(Xⁿ+1) に自然同型である。
• 擬ノルムが非零となる任意の多重複素数は極形式 ${\textstyle x=\rho \exp(\sum _{i=1}^{n-1}\phi _{i}e^{i})}$ に書ける。

直和およびテンソル積

• 各代数 𝓜ℂ_n は ℝ および ℂ からなる代数の直和 になる:
  • n が偶数のとき:

    ${\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n}{2}}{\text{ summands}}}=\bigoplus ^{\frac {n}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {C} ^{\frac {n}{2}};$

  • n が奇数のとき:

    ${\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \mathbb {R} \oplus \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n-1}{2}}{\text{ summands}}}=\mathbb {R} \oplus \bigoplus ^{\frac {n-1}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{\frac {n-1}{2}}=\mathbb {R} \oplus {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n-1};$

  • あるいはまとめて: 𝓜ℂ_n ≅ ℝ^{n mod 2} × ℂ^⌊n/2⌋.
• ここから直ちに従うこととして:
  • m ,n が何れか奇数でないならば 𝓜ℂ_m ⊕ 𝓜ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_m+n;
  • m, n がともに奇数のとき ${\textstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{m}\oplus {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{m+n-2}\oplus \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$。
• 上記の性質を利用して、代数のテンソル積 ⊗_ℝ が代数の直和 ⊕ の上に分配的であること、および同型 𝓜ℂ₄ ≅ ℂ ⊗_ℝ ℂ がわかる。そこから 𝓜ℂ_m ⊗_ℝ 𝓜ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_mn を示すのは容易。

ℂ_n との関係

• 𝓜ℂ_2ⁿ ≅ ℂ_n.

部分環

• 𝓜ℂ_n−1 ⊂ 𝓜ℂ_n.
• ℝ^⌈n/2⌉ ⊂ 𝓜ℂ_n.
• D’où $\textstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown$^{⌊(n+1)/4⌋} ⊂ 𝓜ℂ_n.
• ℂ^⌊n/2⌋ ⊂ 𝓜ℂ_n.

特に 𝓜ℂ₃ に関して

19世紀に複素数を二次元の平面という幾何学的な形に表す考えが優位となったのち、数学者はこれを三次元の空間に対応する超複素数系に拡張しようと試みたがことごとく失敗に終わった。最終的には、超複素数の代数の成す次元とそれが表す幾何学的空間の次元が等しいという仮定を捨て去って、四次元の数である四元数が、そしてその三次元空間における回転との関係が発見されることとなる。そのような四元数の成功にもかかわらず、空間における幾何学的操作に相同する性質を示す次元数 3 の超複素数系を探索する者たちが引き続き存在しており、そのうちの幾人かはそれぞれ独立に 𝓜ℂ₃ またはそれに自明な同型を持つ代数にたどり着いている。

注

参考文献

• （英語） Fleury, Norbert; Rausch de Traubenberg, Michel; Yamaleev (1993). “Commutative Extended Complex Numbers and Connected Trigonometry” (pdf). Journal of Mathematical Analysis and Applications 180: 431–457. doi:10.1006/jmaa.1993.1410. ISSN 0022-247X. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X83714101/pdf?md5=99c473b97d70da5a165a55850a33d7ea&pid=1-s2.0-S0022247X83714101-main.pdf. 
• （英語） Fleury, Norbert; Rausch de Traubenberg, Michel; Yamaleev, Robert Masgutovich (1995). “Extended Complex Number Analysis and Conformal-like Transformations” (pdf). Journal of Mathematical Analysis and Applications 191 (1): 118–136. doi:10.1006/jmaa.1995.1123. ISSN 0022-247X. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X85711237/pdf?md5=ac6d716df36bd8f8fa10e055b4412b92&pid=1-s2.0-S0022247X85711237-main.pdf. 
• Michel Rausch de Traubenberg, Algèbres de Clifford, Supersymétrie et Symétries ℤ_n, Applications en Théorie des Champs, Strasbourg, Université Louis Pasteur (habilitation à diriger des recherches),‎ 23 octobre 1997 (arXiv hep-th/9802141), chap. 1.2 (« Extension des nombres complexes »), p. 20–29
• (en) Silviu Olariu, Complex Numbers in Three Dimensions,‎ 4 août 2000 (arXiv math/0008120)
• (en) Shlomo Jacobi, On a novel 3D hypercomplex number system,‎ 7 septembre 2015 (arXiv 1509.01459)

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関連項目

• 巡回多元環