ペティス積分

数学の分野におけるペティス積分（ペティスせきぶん、英: Pettis integral）あるいはゲルファント-ペティス積分（イズライル・ゲルファントとビリー・ジェームス・ペティス（英語版）の名にちなむ）とは、双対性を利用することによって、バナッハ空間に値を取るような測度空間上の関数へとルベーグ積分の定義を拡張したものである。測度空間がルベーグ測度を備える区間であるような場合に対して、ゲルファントによって導入された。強積分であるボホナー積分と区別されて、弱積分と呼ばれることもある。

定義

$(X,\Sigma ,\mu )$ を測度空間、 $B$ をバナッハ空間とし、 $f:X\to B$ および $E\in \Sigma$ を定める。次を満たすような $A\in B$ が存在するとき、それを $f$ の $E$ についてのペティス積分と呼ぶ：

\langle v,A\rangle =\int _{E}\langle v,f(t)\rangle \,d\mu (t)\ \ \forall v\in B'.

但し $B'$ は $B$ の双対空間とする。このような $A$ は次のように表記される：

A=\int _{E}f(t)\,d\mu (t).

J. K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. Fulltext
I.M. Gel'fand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984)
Sobolev, V. I. (2001), “Pettis integral”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4