ボース粒子の場合
編集
同じ振動数を持つ2つの調和振動子の系を考える[3]
H
^
=
H
^
1
+
H
^
2
H
^
i
=
p
^
i
2
2
m
+
ω
2
x
^
i
2
2
=
ℏ
ω
(
a
^
i
†
a
^
i
+
1
)
(
i
=
1
,
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {H}}_{1}+{\hat {H}}_{2}\\{\hat {H}}_{i}&={\frac {{\hat {p}}_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {\omega ^{2}{\hat {x}}_{i}^{2}}{2}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}+1)\quad (i=1,2)\end{aligned}}}
この系の基底状態（真空状態 ）は、それぞれの調和振動子の基底状態の直積 で与えられる（フォック状態 ）。
|
0
⟩
=
|
0
⟩
1
⊗
|
0
⟩
2
{\displaystyle |0\rangle =|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}}
ここで次のユニタリー演算子
U
θ
{\displaystyle U_{\theta }}
U
θ
≡
exp
(
θ
G
ϕ
)
=
exp
[
θ
(
a
^
1
a
^
2
e
i
ϕ
−
a
^
1
†
a
^
2
†
e
−
i
ϕ
)
]
G
ϕ
≡
(
a
^
1
a
^
2
e
i
ϕ
−
a
^
1
†
a
^
2
†
e
−
i
ϕ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{\theta }&\equiv \exp(\theta G_{\phi })=\exp[\theta ({\hat {a}}_{1}{\hat {a}}_{2}e^{i\phi }-{\hat {a}}_{1}^{\dagger }{\hat {a}}_{2}^{\dagger }e^{-i\phi })]\\G_{\phi }&\equiv ({\hat {a}}_{1}{\hat {a}}_{2}e^{i\phi }-{\hat {a}}_{1}^{\dagger }{\hat {a}}_{2}^{\dagger }e^{-i\phi })\end{aligned}}}
演算子
G
ϕ
{\displaystyle G_{\phi }}
G
ϕ
†
=
−
G
ϕ
{\displaystyle G_{\phi }^{\dagger }=-G_{\phi }}
このユニタリー演算子
U
θ
{\displaystyle U_{\theta }}
ボゴリューボフ変換 という。
(
a
^
1
,
new
a
^
2
,
new
†
)
≡
U
θ
(
a
^
1
a
^
2
†
)
U
θ
†
=
(
cosh
θ
e
−
i
ϕ
sinh
θ
e
i
ϕ
sinh
θ
cosh
θ
)
(
a
^
1
a
^
2
†
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1,{\text{new}}}\\{\hat {a}}_{2,{\text{new}}}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}\equiv U_{\theta }{\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}\\{\hat {a}}_{2}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}U_{\theta }^{\dagger }={\begin{pmatrix}\cosh \theta &e^{-i\phi }\sinh \theta \\e^{i\phi }\sinh \theta &\cosh \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}\\{\hat {a}}_{2}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}}
このとき位相は
ϕ
=
0
{\displaystyle \phi =0}
θ
{\displaystyle \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
[4]
この行列の行列式が1であること（
cosh
2
θ
−
sinh
2
θ
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}\theta -\sinh ^{2}\theta =1}
双曲線関数 ））から、
U
θ
{\displaystyle U_{\theta }}
この新しい生成演算子によって作られる粒子をボゴリューボフ準粒子 、あるいはボゴロン と呼ぶ。
ハミルトニアン
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ボゴリューボフ変換された状態を基底状態に持つハミルトニアンは、以下のように作ることができる。
H
^
new
=
U
θ
H
^
U
θ
†
{\displaystyle {\hat {H}}_{\text{new}}=U_{\theta }{\hat {H}}U_{\theta }^{\dagger }}
このハミルトニアンは、全粒子数演算子
N
^
≡
∑
i
=
1
,
2
a
^
i
†
a
^
i
{\displaystyle {\hat {N}}\equiv \sum _{i=1,2}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}}
基底状態
編集
ここで新しいハミルトニアンの基底状態を考える。これは元の基底状態（真空状態）に
U
θ
{\displaystyle U_{\theta }}
|
θ
⟩
=
U
θ
|
0
⟩
a
^
i
,
new
|
θ
⟩
=
U
θ
a
^
i
U
θ
†
|
θ
⟩
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}|\theta \rangle &=U_{\theta }|0\rangle \\{\hat {a}}_{i,{\text{new}}}|\theta \rangle &=U_{\theta }{\hat {a}}_{i}U_{\theta }^{\dagger }|\theta \rangle =0\end{aligned}}}
この基底状態をフォック状態を使って具体的に表すと、
|
θ
⟩
=
1
cosh
θ
exp
[
−
e
−
i
ϕ
a
^
1
†
a
^
2
†
tanh
θ
]
|
0
⟩
=
1
cosh
θ
∑
n
=
0
∞
(
−
e
−
i
ϕ
tanh
θ
)
n
|
n
⟩
1
⊗
|
n
⟩
2
{\displaystyle |\theta \rangle ={\frac {1}{\cosh \theta }}\exp[-e^{-i\phi }{\hat {a}}_{1}^{\dagger }{\hat {a}}_{2}^{\dagger }\tanh \theta ]|0\rangle ={\frac {1}{\cosh \theta }}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{-i\phi }\tanh \theta )^{n}|n\rangle _{1}\otimes |n\rangle _{2}}
この基底状態は、それぞれの調和振動子が同じエネルギーレベルに励起している状態の重ね合わせ状態になっている。
このような状態を絡み合った状態（entangled state）という。
量子的な場は、無数の調和振動子が集まったものであり、調和振動子の励起数
n
{\displaystyle n}
|
θ
⟩
{\displaystyle |\theta \rangle }
n
{\displaystyle n}
この新しい基底状態
|
θ
⟩
{\displaystyle |\theta \rangle }
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
スクイーズ変換 は、1つの調和振動子の生成消滅演算子を混ぜる変換で、1つのモードの粒子対を生成する。このような変換が可能なのは、この粒子が電荷 や運動量 などの保存量 を持たない場合に限られる。
一方でボゴリューボフ変換ではこの制約を回避するため、2つの調和振動子を導入し、それらの生成消滅演算子を混ぜている。各調和振動子に対応する粒子の量子数（電荷や運動量）が逆であれば、これらの量子数の保存則を満たす。
例えば
a
^
1
{\displaystyle {\hat {a}}_{1}}
a
^
2
{\displaystyle {\hat {a}}_{2}}
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
−
k
{\displaystyle -\mathbf {k} }
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
ユニタリー非同値性
編集
以上のことは有限個の生成消滅演算子において成り立つ。しかし無限個の生成消滅演算子にボゴリューボフ変換してできた無限個の新しい生成消滅演算子は、ユニタリー変換では結びつかない。つまり元の生成消滅演算子からできる量子論と新しい生成消滅演算子からできる量子論はユニタリー同値 ではなくなり、フォン・ノイマンの一意性 が成立しなくなる。よって物理量を計算しても異なる値となる。これをユニタリー非同値性 という[5]
ボーズ粒子のボゴリューボフ変換は、超流動 で用いられる[6] 反強磁性 の理論でのハミルトニアン と励起に応用される[7] ホーキング輻射 が導出される。
フェルミ粒子の場合
編集
2種類のフェルミ粒子の生成消滅演算子を考える[3]
ϕ
=
0
{\displaystyle \phi =0}
U
θ
=
exp
(
θ
G
ϕ
)
=
exp
[
θ
(
b
^
1
b
^
2
−
b
^
2
†
b
^
1
†
)
]
{\displaystyle U_{\theta }=\exp(\theta G_{\phi })=\exp[\theta ({\hat {b}}_{1}{\hat {b}}_{2}-{\hat {b}}_{2}^{\dagger }{\hat {b}}_{1}^{\dagger })]}
ボゴリューボフ変換は、
(
b
^
1
,
new
b
^
2
,
new
†
)
≡
U
θ
(
b
^
1
b
^
2
†
)
U
θ
†
=
(
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
)
(
b
^
1
b
^
2
†
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\hat {b}}_{1,{\text{new}}}\\{\hat {b}}_{2,{\text{new}}}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}\equiv U_{\theta }{\begin{pmatrix}{\hat {b}}_{1}\\{\hat {b}}_{2}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}U_{\theta }^{\dagger }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {b}}_{1}\\{\hat {b}}_{2}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}}
この行列の行列式が1であること（
cos
2
θ
+
sin
2
θ
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}
U
θ
{\displaystyle U_{\theta }}
ボース粒子の場合と同様にハミルトニアンをユニタリー変換でき、ボゴリューボフ変換された基底状態
|
θ
⟩
=
U
θ
|
0
⟩
{\displaystyle |\theta \rangle =U_{\theta }|0\rangle }
b
^
i
,
n
e
w
|
θ
⟩
=
U
θ
b
^
i
U
θ
†
|
θ
⟩
=
0
{\displaystyle {\hat {b}}_{i,new}|\theta \rangle =U_{\theta }{\hat {b}}_{i}U_{\theta }^{\dagger }|\theta \rangle =0}
この基底状態をフォック状態を使って具体的に表すと、
|
θ
⟩
=
cos
θ
exp
(
b
^
1
†
b
^
2
†
tan
θ
)
|
0
⟩
=
cos
θ
|
0
⟩
+
sin
θ
|
1
⟩
1
⊗
|
1
⟩
2
{\displaystyle |\theta \rangle =\cos \theta \exp({\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}^{\dagger }\tan \theta )|0\rangle =\cos \theta |0\rangle +\sin \theta |1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}}
ボース粒子のときと同様に粒子対が生成されているが、パウリの排他原理 のため１つの粒子対しか生成されていない。
フェルミ粒子のボゴリューボフ変換は、超伝導 のBCS理論 に応用される[7] [8] [9] [10] 平均場近似 では系のハミルトニアンは生成・消滅演算子による双線型項の和（有限個の
⟨
a
i
+
a
j
+
⟩
{\displaystyle \,\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle }
ハートリー・フォックの方法 を越えなければならない。ボゴリューボフ変換によって拡張された方法は、ハートリー・フォック・ボゴリューボフの方法 と呼ばれる。
また核物理学 においてもボゴリューボフ変換は応用でき、重元素の核子の「対エネルギー」が記述できる[11]
スクイーズ変換
編集
スクイーズ変換のことをボゴリューボフ変換と呼ぶ場合もあるため、注意が必要である。
1つのボース粒子の生成消滅演算子
編集
次の調和基底でのボゾン的な生成消滅演算子 （作用素）の正準交換関係 を考える。
[
a
^
,
a
^
†
]
=
1
.
{\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1~.}
新しい作用素のペアを、
b
^
=
u
a
^
+
v
a
^
†
,
{\displaystyle {\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },}
b
^
†
=
u
∗
a
^
†
+
v
∗
a
^
{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}~}
と定義する。ここに後者は前者のエルミート共役 である。
スクイーズ変換は、これらの作用素の正準変換である。変換が正準であるような定数 u と v の条件を見つけるため、交換子を計算すると、
[
b
^
,
b
^
†
]
=
[
u
a
^
+
v
a
^
†
,
u
∗
a
^
†
+
v
∗
a
^
]
=
⋯
=
(
|
u
|
2
−
|
v
|
2
)
[
a
^
,
a
^
†
]
{\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]}
となる。すると、|u |2 − |v |2 = 1 が変換が正準であるための条件であることが分かる。
この条件の形は、双曲線関数 の関係式
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}
を示唆しており、定数 u , v は次のようにパラメトライズできる。
u
=
e
i
θ
1
cosh
r
,
{\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cosh r,}
v
=
e
i
θ
2
sinh
r
.
{\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sinh r.}
1つのフェルミ粒子の生成消滅演算子
編集
反交換関係
{
a
^
,
a
^
†
}
=
1
{\displaystyle \left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1}
に対して、u と v の同じ変換は、
{
b
^
,
b
^
†
}
=
(
|
u
|
2
+
|
v
|
2
)
{
a
^
,
a
^
†
}
{\displaystyle \left\{{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right\}=(|u|^{2}+|v|^{2})\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}}
となる。
変換を正準な形とすると、u と v は次のようにパラメトライズすることができる。
u
=
e
i
θ
1
cos
r
,
{\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cos r,}
v
=
e
i
θ
2
sin
r
.
{\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sin r.}
複数の生成消滅演算子
編集
考えているヒルベルト空間 は、生成消滅演算子を持っていて、従って高次元の量子調和振動子 （英語版 ）
対応するハミルトニアン の基底状態 は、全ての消滅演算子により消滅させられる：
a
i
|
0
⟩
=
0.
{\displaystyle a_{i}|0\rangle =0.}
全ての励起状態は、ある生成作用素
∏
k
=
1
n
a
i
k
†
|
0
⟩
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dagger }|0\rangle }
によって励起した基底状態の線型結合 として得られる。従って、次の線型な式として生成消滅演算子を再定義することができる。
a
i
′
=
∑
j
(
u
i
j
a
j
+
v
i
j
a
j
†
)
.
{\displaystyle a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\dagger }).}
ここに係数 uij , vij は、エルミート共役（随伴作用素） により定義された消滅生成作用素
a
i
′
†
{\displaystyle a_{i}^{\prime \dagger }}
交換関係 、フェルミオンに対しては反交換関係 を満たすことを保証するある関係を満たさなければならない。
上記の方程式は、演算子に対するスクイーズ変換を定義する。
全ての
a
i
′
{\displaystyle a'_{i}}
|0⟩ 作用素の状態の対応 を使い両者は互いにスクイーズ変換により結び付けられているとみなすことができる。それらはスクイーズドコヒーレント状態 として定義することもできる。BCS波動関数は、フェルミオンのスクイーズドコヒーレント状態の例である[12] [13]
関連文献
編集
全体のトピックや多くの具体的な応用については次の教科書を参照。
J.-P. Blaizot and G. Ripka: Quantum Theory of Finite Systems, MIT Press (1985)
A. Fetter and J. Walecka: Quantum Theory of Many-Particle Systems, Dover (2003)
Ch. Kittel: Quantum theory of solids, Wiley (1987)
^ Valatin, J. G. (March 1958). “Comments on the theory of superconductivity”. Il Nuovo Cimento 7 (6): 843–857. Bibcode : 1958NCim....7..843V . doi :10.1007/bf02745589 . ^ Bogoljubov, N. N. (March 1958). “On a new method in the theory of superconductivity”. Il Nuovo Cimento 7 (6): 794–805. Bibcode : 1958NCim....7..794B . doi :10.1007/bf02745585 . ^ a b 磯 暁『現代物理学の基礎としての場の量子論』共立出版、2015年。ISBN 978-4-320-03487-7 。
^ フェッター/ワレッカ『多粒子系の量子論 理論編』マグロウヒル出版、1987年。ISBN 4895013642 。 ^ 高橋康『物性研究者のための場の量子論II (新物理学シリーズ 17)』1976年
^ Nikolai Bogoliubov : On the theory of superfluidity , J. Phys. (USSR), 11, p. 23 (1947)^ a b See e.g. the textbook by Charles Kittel : Quantum theory of solids , New York, Wiley 1987.
^ Boboliubov, N. N. (1 Jan 1958). “A new method in the theory of superconductivity. I”. Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP 7 (1): 41–46. ^ Bogoliubov, N. N. (July 1958). “A new method in the theory of superconductivity III” . Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP 34 (7): 51–55. http://www.jetp.ac.ru/files/Bogolubov_007_01_0051.pdf . ^ Bogolyubov, N. N.; Tolmachev, V. V.; Shirkov, D. V. (November 1958). “A new method in the theory of superconductivity”. Fortschitte der Physik 6 (11–12): 605–682. Bibcode : 1958ForPh...6..605B . doi :10.1002/prop.19580061102 . ^ Vilen Mitrovanovich Strutinsky : Shell effects in nuclear physics and deformation energies , Nuclear Physics A, Vol. 95, pp. 420–442 (1967), [1] .^ Svozil, K. (1990), "Squeezed Fermion states", Phys. Rev. Lett. 65 , 3341-3343. doi :10.1103/PhysRevLett.65.3341
^ 上田正仁. (2011), "現代量子物理学", 倍風館, 第4版, p. 99, 3.9 スクイズド状態
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{\theta }&\equiv \exp(\theta G_{\phi })=\exp[\theta ({\hat {a}}_{1}{\hat {a}}_{2}e^{i\phi }-{\hat {a}}_{1}^{\dagger }{\hat {a}}_{2}^{\dagger }e^{-i\phi })]\\G_{\phi }&\equiv ({\hat {a}}_{1}{\hat {a}}_{2}e^{i\phi }-{\hat {a}}_{1}^{\dagger }{\hat {a}}_{2}^{\dagger }e^{-i\phi })\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583ec3d713771fa9dc8865cc50ea210f26447f20)
![{\displaystyle |\theta \rangle ={\frac {1}{\cosh \theta }}\exp[-e^{-i\phi }{\hat {a}}_{1}^{\dagger }{\hat {a}}_{2}^{\dagger }\tanh \theta ]|0\rangle ={\frac {1}{\cosh \theta }}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{-i\phi }\tanh \theta )^{n}|n\rangle _{1}\otimes |n\rangle _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a494c04bf4e50c8cc894167c8f9265fb259edd35)
![{\displaystyle U_{\theta }=\exp(\theta G_{\phi })=\exp[\theta ({\hat {b}}_{1}{\hat {b}}_{2}-{\hat {b}}_{2}^{\dagger }{\hat {b}}_{1}^{\dagger })]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078eb89d911c1bfa0ca09b296e2bb35c6b785859)
![{\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f35ecac574a74568196e64824b7862771555749)
![{\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383d6827cf269415b2f857933c38c5551e34b784)
