ボルンの式

ボルンの式（ボルンのしき、英: The Born Equation）は、イオンの溶媒和のギブズ自由エネルギーの静電成分を示す式である。

ボルンの式は、溶媒を連続した誘電媒体と扱う（連続体溶媒和法と呼ばれる方法の1つ）。

マックス・ボルンが考案した。

式

$\Delta G=-{\frac {N_{A}z^{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}\right)$

ここで

• N_A = アボガドロ数
• z = イオンの電荷
• e = 素電荷, 1.6022×10⁻¹⁹ C
• ε₀ = 真空の誘電率
• r₀ = 実効的なイオン半径
• ε_r = 溶媒の比誘電率

導出

静電界分布に蓄えられるエネルギーUは次のように表される。

$$U={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\int |{\bf {E}}|^{2}dV$$

比誘電率ε_rの媒体中のイオンの電場の大きさは $|{\bf {E}}|={\frac {ze}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}r^{2}}}$ であり、また体積要素 $dV$ は$dV=4\pi r^{2}dr$, であらわされるため、エネルギー$U$ は次のように表される：

$$U={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\int _{r_{0}}^{\infty }({\frac {ze}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}r^{2}}})^{2}4\pi r^{2}dr={\frac {z^{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}r_{0}}}$$

したがって、イオンが真空(ε_r =1)から誘電率ε_r の媒質に溶解する際のエネルギーは次のようになる：

$${\frac {\Delta G}{N_{A}}}=U(\varepsilon _{r})-U(\varepsilon _{r}=1)=-{\frac {z^{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}\right)$$

ここでイオン半径r₀結晶イオン半径r_iを用いたものをボルン式と呼び、実際の溶媒和エネルギーに近づけるために溶媒のさやの厚みr_sを加えた溶媒和イオン半径(r_i+r_s)を用いたものを改良ボルン式と呼ぶ。

アルカリ金属イオンに対する溶媒和イオン半径を表1に示す。この値は溶媒のルイス酸・塩基性（ドナー数）に依存し、ドナー数の大きいものがカチオンに対するr_sが大きくなる。ドナー数は溶媒和における共有結合性に関連しており、溶媒和の連続体とみなせない部分の一部を補正する値とみなせる。

ボルン式の溶媒和補正項 r_s

溶媒	ドナー数	rs / Å	εr
ベンゾニトリル	11.9	0.83	25.2
アセトニトリル	14.1	0.82	38.0
スルホラン	14.8	0.80	43.0
プロピレンカーボネート	15.1	0.82	65.1
プロピオニトリル	16.1	0.80	26.1
エチレンカーボネート	16.4	0.86	89.6 （40℃）
アセトン	17.0	0.74	20.7
水	18.0	0.72	78.5
ジメチルホルムアミド	26.6	0.69	36.7
ジメチルスルホキシド	29.8	0.68	46.4

関連項目

• 自由エネルギー関係

外部リンク

• aspects about this equation