多様体 M がポアソン多様体(ポアソンたようたい、英: Poisson Manifold)であるとは、M 上の C∞ 級関数全体のなすベクトル空間を C∞(M) と表すとき、次の性質を満たす写像 が存在することをいう。
- は、-双線形形式である。
- :ヤコビ律
このとき、写像 を M 上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。
をシンプレクティック多様体とする。このとき、 上にポアソン構造が次のようにして定義できる。
-
ここで、 はそれぞれ から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。
をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、
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と書ける。