モジュラー形式の保型因子

数学において、モジュラー形式論に現れる保型因子(ほけいいんし、: automorphic factor)は SL(2, R) 上で定義されるある種の解析函数である。さらに一般の群に対する議論は保型因子の項に譲る。

定義編集

重さ k の保型因子 (automorphic factor of weight k) とは

 

なる函数 ν で、以下に掲げる四つの性質を満足するものを言う。ここで  上半平面Cガウス平面をそれぞれ表し、また Γ は例えばフックス群のような SL(2, R) の部分群である。したがって、Γ の元 γ は二行二列の行列として

 

のように書くことができる。ただし、a, b, c, d は全て実数で、adbc = 1 を満たすものとする。

保型因子 ν が満足すべき条件とは、

  1. Γ の元 γ を固定したとき、函数 ν(γ, z) は z に関して   上の正則函数である。
  2. 一定の実数 k が存在して、  の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、
     
    が成立する。
  3.   の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、
     
    が成立する。ここに、δz は δ の定める一次分数変換による z の像である。
  4. I を二次の単位行列として、−I が Γ に属するならば、  の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、
     
    が成り立つ。

性質編集

任意の保型因子は ‖υ(γ)‖ = 1 なる函数 υ を用いて

 

の形に書くことができる。 函数 υ: Γ → S1乗因子系 (multiplier system) と呼ばれる。明らかに

 

が成り立つ。一方、−I ∈ Γ なるときは

 

が成り立つ。

参考文献編集

  • Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (Chapter 3 is entirely devoted to automorphic factors for the modular group.)