3次元ユークリッド幾何学における四面体モンジュ点(モンジュてん)は、任意の四面体に対し一意的に存在する点である。名前はフランスの数学者ガスパール・モンジュに由来する。

定義編集

四面体の各辺の中点を通りその辺とねじれの位置にある辺(以下「対辺」と呼ぶ)に垂直な6つの面は1点で交わる。この点がモンジュ点である。

性質編集

モンジュ点をMとする。

  • 四面体の外接球の中心をO、重心をGとすると、OG = GM。
  • 四面体の各頂点から対面におろした垂線が1点で交わる場合、この点はモンジュ点に一致する。

証明編集

ある辺の中点Pと、対辺の中点Qをとると、PQの中点は四面体の重心になる。重心に対し外接球の中心と対称の位置にある点をMとすると、POQMは平行四辺形になる。PMとQOが平行で、QOは対辺に直交するので、Pを通り対辺に垂直な平面はMを通る。どの辺に対しても同じことがいえるのでこれらの平面は1点Mで交わる。[1]

脚注編集

  1. ^ 一松信・畔柳和生『重心の幾何学』P.98-99

参考文献編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "モンジュ点". MathWorld (英語).