ユークリッド位相

にユークリッド計量によって誘起される自然位相幾何学である。

数学、特に一般的な位相幾何学において、ユークリッド位相（ユークリッドいそう、Euclidean topology）は$n$-次元ユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{n}$上で定義されるユークリッド距離から誘導される自然な位相である。

定義

$\mathbb {R} ^{n}$上のユークリッドノルムは非負の値を取る関数 $\|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ で以下のように定義される:

$$\left\|\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)\right\|~:=~{\sqrt {p_{1}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}.$$

他のノルム同様、 ユークリッドノルムから距離が$d(p,q)=\|p-q\|$で定義される距離空間が生成される。ユークリッドノルムから生成される距離 $d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$はユークリッド距離と呼ばれる。そして二点$p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)$と$q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)$は:

$$d(p,q)~=~\|p-q\|~=~{\sqrt {\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{n}-q_{n}\right)^{2}}}.$$

任意の距離空間において、開球がその空間上の位相の基底を形成する。 $\mathbb {R} ^{n}$上のユークリッド位相はこれらの球から生成される。 すなわち、$\mathbb {R} ^{n}$上のユークリッド位相の開集合は(任意の)開球$B_{r}(p)$の和集合で与えられる。ここで$B_{r}(p)$は、$B_{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(p,x)<r\right\}(0<r\in \mathbb {R} ,p\in \mathbb {R} ^{n})$

($d$はユークリッド距離)で定義される。

性質

この位相が与えられたとき、 実数直線$\mathbb {R}$はT₅ 空間である。 ${\overline {A}}\cap B=A\cap {\overline {B}}=\varnothing$を満たす$\mathbb {R}$の部分集合$A$,$B$が与えられたとき(ここで${\overline {A}}$は$A$の閉包)、開集合$S_{A}$,$S_{B}$が存在して、$A\subseteq S_{A}$,$B\subseteq S_{B}$,$S_{A}\cap S_{B}=\varnothing$となる。

関連項目

• ヒルベルト空間
• バナッハ空間の一覧
• 位相空間の一覧