メインメニューを開く

ルーシェの定理 (: Théorème de Rouché: Rouché's theorem)は、フランスの数学者であるEugène Rouché (1832年-1920年) が1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。

定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。

目次

定理編集

 複素平面(ガウス平面)のある単連結開集合(領域)、  をその境界 (ただし、連続曲線であるなど、十分に良い性質を持つものとする)、  閉包 (=  ) とし、  および    上で定数でない正則な複素関数で、 上で、  を満たすとすれば、   内での   零点の個数 (ただし位数nの零点はn個として数える)は一致する。

証明編集

まず、

 

であることに注目する。   および    で極を持たないので偏角の原理 から    内における零点の個数をnとすれば、

 
 

である。

ここで   を、  で定義する。  上では   という条件から、  上では   であり、  および    上で正則であるから、   上で正則である。従って   による   の像を   とすれば、   も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。

上の式の右辺第2項の積分を考えれば、

 

である。結局この式の値は    上のある点を始点として   に沿って一周した場合の増分になるが、  上では   という条件から   上では   は正であり、   分岐点である   = 0 を一周しないので、その値は 0 である。従って、

 

が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。

応用例編集

代数学の基本定理の証明編集

 

を最高次数の係数が 1 の任意の n 次複素数係数多項式とした場合、  が複素平面上で n 個の零点を持つことを証明する。

  を正の実数とし、  と置く。また、

 
 

と置く。  を十分大きく取れば   上で   が成立するので、   内における    (=   ) の零点の個数は一致し、   の形から明らかなように、その値は n となる。

関連項目編集

参考文献編集

  • 遠木幸成・阪井章 『関数論』 学術図書出版社、1966年、82-83頁。
  • 松田哲 『複素関数』 岩波書店、1996年、110-111頁。