数演算子

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量子力学において数演算子(すうえんざんし)、個数演算子(こすうえんざんし)あるいは粒子数演算子(りゅうしすうえんざんし、: particle number operator)とは、全粒子数が保存されないような系での粒子数を表すオブザーバブルである。

定義Edit

生成消滅演算子を以下の交換関係を満たす演算子として定義する。

 

数演算子は以下のように定義される。

 

性質Edit

エルミート性Edit

数演算子 はエルミート演算子である。

生成消滅演算子との交換関係Edit

数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。

 
 

固有値は非負Edit

数演算子の固有値方程式は、

 

この固有値 は非負である。

固有ベクトルへの消滅演算子の作用Edit

数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、

 

固有値は整数Edit

数演算子の固有値は整数である。

よって数演算子の固有値は非負の整数である。

固有ベクトルへの生成演算子の作用Edit

固有ベクトルに生成演算子が作用すると、

 

となる。真空状態 に生成演算子N回作用させた場合は、

 

よって、

 

n粒子状態Edit

数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態 ν は1粒子基底状態 i から成る。

 

ここで数演算子を生成消滅演算子 ^a(φi), ^a(φi) を用いて以下のように定義する。

 

数演算子は以下の性質を持つ。

 

ここで Ni は状態 |ψi の粒子の数である。

参考文献Edit

  • 清水明『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9
  • Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten. (2004). Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6. 
  • Second quantization notes by Fradkin

関連項目Edit