数学力学系の研究において、双曲型平衡点(そうきょくがたへいこうてん、: hyperbolic equilibrium point)あるいは双曲型不動点(そうきょくがたふどうてん、: hyperbolic fixed point)とは、中心多様体英語版を持たない不動点のことを言う。双曲点の近くで、二次元の非散逸的な系の軌道は双曲線に似たものとなる。しかしこの事実は一般には成立しない。Strogatz[1] は、「双曲型とは、必ず『鞍点』であることを意味するように聞こえるため、不幸な名前である。しかしその呼び名が標準的となっている」と注意している。双曲型点の近傍において、いくつかの性質が成り立つ。特に重要なものを以下に挙げる[2]

二次元の鞍点の近くでの軌道(双曲型平衡点の一例)

写像編集

T : RnRnC1 写像で、p はその不動点とする。ヤコビ行列 DT(p) が単位円上に固有値を持たないとき、p双曲型不動点と呼ばれる。

唯一つの不動点が双曲型であるような写像の一例として、次のアーノルドの猫写像が挙げられる:

 

実際、固有値は次のようになる。

 
 

フロー編集

F : RnRn を、臨界点 p を持つ C1 ベクトル場とする。すなわち F(p) = 0 が成立するものとする。また JFp におけるヤコビ行列とする。行列 J に実部がゼロとなる固有値が存在しないとき、p双曲型と呼ばれる。双曲型平衡点はまた、双曲型臨界点(hyperbolic critical point)あるいは初等的臨界点(elementary critical point)とも呼ばれる[3]

ハートマン=グロブマンの定理によると、双曲型平衡点のある近傍における力学系の軌道構造は、線型化力学系の軌道構造と位相共役となる。

編集

次の非線型系を考える。

 
 

この唯一の平衡点は (0, 0) である。そこでの線型化は

 .

となる。この行列の固有値は   である。すべての値の α ≠ 0 に対し、これらの固有値は実部がゼロとなることはない。したがって、この平衡点は双曲型平衡点である。この線型化系は、(0, 0) の近くでの非線型系と同様の挙動を示す。α = 0 のとき、この系は (0, 0) において双曲型ではない平衡点を持つ。

注意編集

無限次元系 - 例えば時間遅れを含む系 - の場合、「スペクトルの双曲部」(hyperbolic part of the spectrum)の概念が、上述の性質のことを指す。

関連項目編集

脚注編集

  1. ^ Strogatz, Steven (2001). Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview Press 
  2. ^ Ott, Edward (1994). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press 
  3. ^ Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X