可算コンパクト空間

位相空間 X可算コンパクト空間: Countably compact space)であるとは、任意の可算開被覆有限部分被覆を持つことをいう。即ち、

を満たす任意の可算開集合 に対しある有限部分族 が存在して、

が成り立つことをいう。定義より任意のコンパクト空間は可算コンパクト空間でもある。

同値な定義編集

いわゆる有限交叉性である。

  • 閉集合からなる可算な集合族 A⊂P(X) が   を満たすならば、ある有限部分集合 BA が存在して  

性質編集

  • 点列コンパクト空間は可算コンパクトである。距離空間では、可算コンパクト性と点列コンパクト性、コンパクト性、極限点コンパクト性はすべて同値である。
  • 2つの可算コンパクト空間の直積は必ずしも可算コンパクトではない。それに対し任意個のコンパクト空間の直積はまたコンパクト空間となる(チコノフの定理)。

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  • 任意のコンパクト空間は可算コンパクトである。
  • 最小の非可算順序数 ω1 に順序位相を入れたものは可算コンパクトだがコンパクトでない空間の例になっている。

関連項目編集

参考文献編集

  • Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach Jr. (1995). Counterexamples in Topology (Dover Books on Mathematics) (New ed.). Dover Publications. ISBN 978-0486687353 
  • James Munkres (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2