外角定理

外角定理（がいかくていり、（英: exterior angle theorem）とは、三角形の1つの外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいということを示す、ユークリッド幾何学における定理。

証明

外角定理を表した図。

$△ABC$ において、辺 $BC$ を頂点 $C$ 側に延長した線上に点 $P$ をとる（ $∠BCA$ の外角が $∠ACP$ となる）。

ここで、三角形の内角の和は $180°$ であるから、 $∠CAB + ∠ABC + ∠BCA = 180°$ …(1)

$∠ACP$ は $∠BCA$ の外角であるから、 $∠BCA + ∠ACP = 180°$

よって $∠BCA = 180° - ∠ACP$ …(2)

(1) に (2) を代入して、

∠CAB + ∠ABC + (180° - ∠ACP) = 180°

∴ ∠ACP = ∠CAB + ∠ABC

よって、三角形の1つの外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい。