A 上の(左または右)加群 M は、その零化イデアル AnnA (M) が {0} であるときに、忠実: faithful)であるという。言い換えると、各 の作用が自明でない(ある xM に対して α・x ≠ 0)ということである。別の言い方をすれば、対応する表現 単射である。

任意の加群に対して、次のようにして忠実加群を対応させることができる。環準同型 は、単射準同型 によって分解する。ker ψ は AnnA (M) に他ならないので、 によって MA / AnnA (M)-加群としての構造が入り、このとき は単射なので M は忠実である。

性質

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A-加群 M の任意の元 x に対して Mx = M とおくと、写像

 

A-準同型である。このとき ker φ = AnnA (M) なので、準同型定理より

 

を得る。したがって M が忠実加群であれば、A は(自然にA-加群と見て)  の部分加群に同型である。

参考文献

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  • 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久、佐藤眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』(第1版)日本評論社、2002年。ISBN 4-535-78367-5