順序指数函数
順序指数函数(じゅんじょしすうかんすう、英: ordered exponential)、より精確には経路順序指数函数 (英: path-ordered exponential や時間順序指数函数 (英: time-ordered exponential) は、可換代数の場合の積分を変数に取る指数函数に相応する、非可換代数上で定義される演算である(経路順序積 (path-ordered product) や時間順序積とも)。実用上は、行列環あるいは作用素の代数において順序指数函数を考える。
定義
編集K は実または複素数体、A は K 上の代数とする。写像 a: K → A によって与えられる A の元からなる一径数族 a(t) の径数 t はこの文脈ではしばしば時間径数 (time parameter) として言及される。
時間径数で径数付けられた元 a を引数とする順序指数函数は
この演算によって、径数付けられた元は径数付けられた元の上に写される。記号で書けば
このような積分をより厳密に定義する方法は様々あり、以下にいくつか挙げる。
指数函数の順序積
編集順序指数函数を、無限小指数函数の左乗法的積分、あるいは同じことだが指数函数の順序積の項の数を無限大にした極限
微分方程式の解
編集順序指数函数を以下の微分方程式の初期値問題
積分方程式の解
編集順序指数函数は以下の積分方程式
無限級数展開
編集順序指数函数は、無限和
例
編集多様体 M が与えられ、その上の接束の元 e ∈ TM に群作用 g: e ↦ ge が定義され、一点 x ∈ M において
上の条件式の両辺を積分するとき(ここでの は座標基底で表された接続作用素として)、因子の順番を経路 γ(t) ∈ M に沿って並べる経路順序作用素 P を用いれば
特別の場合として、J(x) が反対称作用素で、経路 γ が辺の長さ |u|, |v| の x, x + u, x + u + v, x + v を頂点とする矩形であるとき、上記の等式は簡単になり
関連項目
編集参考文献
編集- ^ Michael Grossman and Robert Katz. Non-Newtonian Calculus, ISBN 0912938013, 1972.
- ^ A. E. Bashirov, E. M. Kurpınar, A. Özyapıcı. Multiplicative calculus and its applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008.
- ^ Luc Florack and Hans van Assen."Multiplicative calculus in biomedical image analysis", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 2011.
外部リンク
編集- Non-Newtonian calculus website
- 黒木玄5 付録1: 多重対数函数と線形常微分方程式と反復積分「コンパクトRiemann面に関する相互法則」『黒木玄の文書置き場 雑多なノート』、黒木玄のウェブサイト 。