普遍汎化(ふへんはんか、: Universal generalization, Universal introduction,[1][2][3] GEN)は、述語論理において妥当な推論規則のひとつである。これは、もしが導出されていれば、を導出してよい、という意味である。

汎化と仮定 編集

十分な汎化規則のもとでは 記号の左側に仮定を置くことができるが、制限もある。Γは論理式の集合であり、 は論理式であり、 は導出されていると仮定する。汎化規則では、yがΓに言及されておらず、x に現れない場合、 が導かれる、とする。

これらの制限は健全性を保つために必要である。最初の制限がなければ、仮定 から を結論づけることができてしまう。また2番目の制約がなければ、次のような演繹を行うことができてしまう。

  1.   (仮定)
  2.  存在例化
  3.  存在例化
  4.   (誤った普遍汎化)

これは、 が不健全な演繹であると示すことを目的としている。

証明の例 編集

例題:   および から導出できる。

証明:

番号 正当化
1   仮定
2   仮定
3   普遍例化
4   (1)(3)と前件肯定
5   普遍例化
6   (2)(5)と前件肯定
7   (6)(4)と前件肯定
8   (7)と普遍汎化
9   (1)から(8)のまとめ
10   (9)と演繹定理
11   (10)と演繹定理

この証明では、普遍汎化がステップ8で使用されている。移行された式に自由変項がないため、ステップ10と11では演繹定理が適用できた。

関連項目 編集

脚注 編集

  1. ^ Copi and Cohen
  2. ^ Hurley
  3. ^ Moore and Parker