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数学実解析において、実数値関数極値(きょくち、: extremum[注 1])とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。

定義編集

n 次元ユークリッド空間 (Rn, d)開集合 U 上で定義された実数値関数 f: UR をとる[注 2]。 関数 f を定義域に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最小値であるとき、値 f(p) を関数 f極小値local minimum)といい、点 p を関数 f極小点minimizing point)という。この条件は論理式を用いると

 

と表せる[注 3]。同様に関数 f を定義域に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最大値であるとき値 f(p) を関数 f極大値local maximum)といい、点 p を関数 f極大点maximizing point)という。

極小値と極大値を総称して極値extremum)といい、極小点と極大点を総称して極値点という。

上の条件に現れる d(p, q) < εf(p) ≤ f(q)0 < d(p, q) < εf(p) < f(q) へ置き換えたとき、値 f(p) を関数 f狭義の極小値strict local minimum)という。同様に狭義の極大値strict local maximum)も定義される。またこれらを総称して狭義の極値という。(ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。)

必要条件編集

 
原点は関数 x3 の停留点ではあるが、極値点ではない。

n 次元ユークリッド空間 Rn開集合 U 上で定義された実数値関数 f: UR をとり、これが微分可能であるとする。

定義域に属する点 p における関数 f勾配

 

0 であるとき、点 p を関数 f停留点stationary point)あるいは臨界点critical point)といい、値 f(p)停留値stationary value)あるいは臨界値critical value)という。

p が関数 f の極値点であるためには、点 p が関数 f の停留点であることが必要である。

十分条件編集

 
原点は関数 x2 + y2, x2, x2y2 すべての停留点である。関数 x2 + y2 の原点におけるヘッセ行列は正の定符号であり、原点で関数 x2 + y2 は狭義の極小値をとる。また関数 x2y2 の原点におけるヘッセ行列は不定符号であり、原点は関数 x2y2 の鞍点である。一方で関数 x2 の原点におけるヘッセ行列は特異行列であり、原点で退化している。

n 次元ユークリッド空間 Rn開集合 U 上で定義された実数値関数 f: UR をとり、これが2回連続微分可能であるとする。

関数 f の停留点 p におけるヘッセ行列

 

正の定符号2 f(p) > 0)であるならば関数 f は点 p において狭義の極小値をとる[1]。またヘッセ行列 2 f(p) が負の定符号(2 f(p) < 0)であるならば関数 f は点 p において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 f は点 p において極値をとらない(このとき点 p は関数 f鞍点と呼ばれる)。

この方法[注 4]により、ヘッセ行列 2 f(p)特異行列で停留点 p が退化している場合を除けば、極値判定ができる。

注釈編集

  1. ^ 複数形は不規則で extrema になる。
  2. ^ より一般に部分集合 E 上で定義された実数値関数をとり、その内点 p に対してのみ極値を定義することもある。
  3. ^ m が関数 f の最小値であるとは値 m f(U)最小元であること、すなわち条件
     
    が成立することであった。したがって最小値は極小値である。
  4. ^ この極値判定法を英語では second derivative test と呼ぶこともある。

出典編集

  1. ^ ヨスト 2000, p. 142, 定理 9.12.

関連項目編集

参考文献編集

  • ユルゲン・ヨスト 『ポストモダン解析学』シュプリンガー、2000年。ISBN 978-4-431-70871-1 
書評 doi:10.11429/sugaku1947.54.314

外部リンク編集