数学における、特に力学系理論における流れ: flow)は、実数で表される連続時間で決定論的な時間発展を定式化したものである[1]。ある種の条件を満たす連続写像(の)として与えられ、群論の言葉で言えば、加法群 相空間への群作用に相当する。典型的には、ベクトル場(あるいはそれを与える自励系常微分方程式)によって流れが定まる。流れを指して連続力学系力学系とも呼ぶ。

流れ φt, 点 x0, 像 φt(x0), 軌道 O(x0), ベクトル場 f の関係

定義

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流れの具体的な定義は以下の通りである。位相空間 X 上の連続写像 φ : ℝ × XX を考え、(t, x) ∈ ℝ × X に対する φ(t, x)φt (x) と表す。φt (x) で定められた φt : XX が、任意の t ∈ ℝ と任意の xX について

 
(1)
 
(2)

を充たすとき、写像の {φt | t ∈ ℝ}流れと呼ぶ[1]。ここで 実数全体の集合、idX恒等写像を表す。

流れが充たすべき性質 (1) (2) は、考察するシステムの状態が決定論的に決まり、初期状態と負の時間も含めた経過した時間だけが変化を決めるという仮定から導かれるものである[2]。時刻 t1 ∈ ℝ で状態 x1X になり、時刻 t2 ∈ ℝ で状態 x2X になるようなシステムがあるとする。ここでいう決定論的とは、x2t1, x1, t2 が決まれば一意的に決まることを言う[3]。初期状態と負の時間も含めた経過した時間だけが変化を決めるとは、x1t = t2t1 だけで x2 が一意的に決まることを言う[3]。簡単に言うと、充たすべき性質 (1) (2) は、ある初期状態が t 時間経ち更に s 時間経ってたどり着く状態は、同じ初期状態が t + s 時間経ってたどり着く状態と同じ、ということを意味している[4]。流れを連続写像とする仮定は、充分に近い(似た)2つの初期状態から出発すれば、ほとんど同じ時間経過後のそれぞれの状態も近い(似ている)ということを意味する[3]

流れ {φt | t ∈ ℝ}連続力学系連続時間の力学系あるいは単に力学系と呼ぶこともある[5][6][7]。各写像 φt : XX は、これら自体も流れと呼んだり[8]時間 t 写像と呼んだりする[9]。また、流れを元の表記、すなわち直積集合 ℝ × X から集合 X への連続写像 φ : ℝ × XX, (φ(t, x)) で表すこともある[1][10]。この表記で流れの性質 (1) (2) を表すと、

 
(1')
 
(2')

である[1][7]

性質 (1) (2) より、φtφt逆写像となるため、φt同相写像でもある[1]。これら性質によって、流れ {φt | t ∈ ℝ}群構造を持つ[5]。群論の言葉で言えば、写像族 {φt | t ∈ ℝ}加法群 相空間への群作用を定めている[11][12]。流れ {φt | t ∈ ℝ} が与えれると、点 x0 を通る軌道

 
(3 )

が定義できる[13]。軌道は初期状態 x0t 時間後の状態 φt(x0) について t を変化させたときの軌跡なので、この流れによる x0 の時間発展の様子を表現する[13]

ベクトル場が生成する流れ

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力学系の典型例は、自励系常微分方程式の形で与えられる[14]n 次元ユークリッド空間 n 上で、独立変数t ∈ ℝ従属変数x ∈ ℝn とする次のような自励系の常微分方程式で与えられているとする[15]

 
(4 )

この方程式の x(t) と書く。解の存在と一意性が充たされる初期値問題 t = 0x0 = x(0) を通る場合を考え、この解を改めて φ(t, x0) と表す。簡単のため、任意の t ∈ ℝx0 ∈ ℝn について φ(t, x0) が存在すると仮定する。

このとき、φ は点 x0t 時間後の点 φ(t, x0) に対応付ける写像 φt : ℝn → ℝn として機能し、性質 (1) (2) を充たす[16]。微分方程式の f (x)n 上のベクトル場を与えるので、φt はベクトル場 f流れ[15]やベクトル場 f生成する流れなどと呼ばれる[17][18]

逆に、流れ φtt について微分可能ならば、ある自励系常微分方程式を定めることもできる[19]。ベクトル場 fCrであれば、それから生成される流れ φtCr 級微分同相写像である[4]

出典

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  1. ^ a b c d e 浅岡 2023, p. 11.
  2. ^ 青木・白岩 2013, pp. 14–15.
  3. ^ a b c 青木・白岩 2013, p. 15.
  4. ^ a b 千葉 2021, p. 124.
  5. ^ a b 久保・矢野 2018, p. 1.
  6. ^ 高橋 2004, p. 82.
  7. ^ a b 今・竹内 2018, p. 144.
  8. ^ 伊藤 1998, p. 60.
  9. ^ 國府 2000, p. 4.
  10. ^ 今・竹内 2018, p. 142.
  11. ^ 荒井 2020, p. 41.
  12. ^ 國府 2000, p. 5.
  13. ^ a b 國府 2000, p. 7.
  14. ^ 青木・白岩 2013, p. 17.
  15. ^ a b 千葉 2021, p. 123.
  16. ^ 千葉 2021, pp. 123, 124.
  17. ^ 荒井 2020, p. 39.
  18. ^ 高橋 2004, p. 85.
  19. ^ 高橋 2004, pp. 82–83.

参照文献

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  • 浅岡 正幸、2023、「アノソフ系と多様体上の双曲力学系」、『幾何学百科Ⅲ 力学系と大域幾何』初版、朝倉書店 ISBN 978-4-254-11618-2
  • 久保 泉・矢野 公一、2018、『力学系』オンデマンド版、岩波書店 ISBN 978-4-00-730742-3
  • 國府 寛司、2000、『力学系の基礎』初版、朝倉書店〈カオス全書2〉 ISBN 4-254-12672-7
  • 高橋 陽一郎、2004、『力学と微分方程式』初版、岩波書店〈現代数学への入門〉 ISBN 4-00-006875-X
  • 青木 統夫・白岩 謙一、2013、『力学系とエントロピー』復刊、共立出版 ISBN 978-4-320-11043-4
  • 千葉 逸人、2021、『解くための微分方程式と力学系理論』初版、現代数学社 ISBN 978-4-7687-0570-4
  • 荒井 迅、2020、『常微分方程式の解法』初版、共立出版〈共立講座 数学探検 15〉 ISBN 978-4-320-11188-2
  • 伊藤 秀一、1998、『常微分方程式と解析力学』初版、共立出版〈共立講座 21世紀の数学 11〉 ISBN 4-320-01563-0
  • 今 隆助・竹内 康博、2018、『常微分方程式とロトカ・ヴォルテラ方程式』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-11348-0

外部リンク

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