「円周率の歴史」の版間の差分

[[円周率]] ''π'' は[[無理数]]なので[[小数]]で表現すると無限に長い数値になる。その長いまた、[[連分数]]で表現すると無限に長い連分数になる。その近似値は何千年にも渡り、世界中で計算されてきた。

ほとんどの目的には近似値 3.14 の近似値を使いうことが多く、これで十分である。技術系では 3.1416 や 3.14159 などを使用することが多い。[[天気予報]]や[[人工衛星]]などの計算では 30 桁程度の値を使用している。{{分数|355|113}} = '''3.141592'''92... などは覚えやすく近似精度が高い分数である。

* '''[値]'''(桁数) : 計算・値の使用 (小数点以下の桁数の記録更新)

:{{Flagicon|IRN}}'''[値]'''(2) [[1936年]]に[[スーサ]]で発見された[[粘土板]]などから、[[古代バビロニア]]では、[[六角形|正六角形]]の周と円周を比べ、円周率の近似値として 3, 3+{{分数|1|7}} ≒ 3.142857 , 3+{{分数|1|8}} = 3.125 などが使われたと考えられている<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.35-37, p.338.</ref>。

:{{Flagicon|EGY}}'''[学][値]''' [[古代エジプト]]では円周と直径の比から得られる値と、円の面積と半径の[[冪乗|平方]]の比から得られる値が同じであることは知られていた。神官[[アハメス]]が書き残した[[リンド・パピルス]]には[[円積問題]]の古典的な解法の一つが記されており円の直径からその{{分数|1|9}}を引いた長さを一辺とする[[正方形]]の面積と、元の円の面積が等しいとしている。この計算から円周率を計算すると、{{分数|256|81}} ≒ 3.1605 が円周率の近似値として得られる。かなり精度が高かったものの普及はしなかった。リンド・パピルスはアハメスによって写されたものであり、内容自体はさらに紀元前1800年ごろにまで遡ると考えられている。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.38-43. 年代表(p.338)では前2000年頃としている。</ref>

:{{Flagicon|GRC}}'''[学]''' [[アナクサゴラス]]が、[[アポロン]]への不敬罪で投獄されている間に、[[円積問題]]に取り組んだ<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.61-62. 年代表(p.338)では前434年頃としている。</ref>。

:{{Flagicon|GRC}}'''[法]''' [[ヘラクレア・ポンティカ|ヘラクレア]]の[[アンティポン|アンティフォン]] (Antiphon) は円に内接する正多角形の面積を求めることにより円周率を計算する方法を編み出した。アンティフォンは、それぞれの正多角形から正方形が作図できることから、円積問題が解決できると主張した。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.62-63. 年代表(p.338)では前430年頃としている。</ref>

:{{Flagicon|ITA}}'''[法][値]''' [[アルキメデス]]は円周と直径の比と、円の面積と半径の平方の比が同じであることを証明した<ref>「円の計算」命題一：任意の円は、つぎのような直角三角形――すなわち、その半径が直角を挟（はさ）む一辺に等しく、円の周が底辺に等しいような直角三角形（の面積）に等しい。[[#アルキメデス1972|アルキメデス 1972]], pp.482-483.</ref>。さらに円に外接、内接するそれぞれの正 3&times;2^''n'' 角形の辺の長さを ''p''_''n'', ''q''_''n'' としたとき、漸化式

:が成り立つことを示し、''n'' = 1 から ''n'' = 5 まで計算することにより{{分数|223|71}} < ''&pi;'' < {{分数|22|7}}を求めた<ref>「円の計算」命題三：任意の円の周はその直径の３倍よりも大きく、その超過分は直径の{{分数|1|7}}よりは小さく、{{分数|10|71}}よりは大きい（3{{分数|10|71}} < ''&pi;'' < 3{{分数|1|7}}）。[[#アルキメデス1972|アルキメデス 1972]], pp.484-487.</ref>。小数だと 3.14084 < ''&pi;'' < 3.14286 になる。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.109-114, p.338.</ref>

:{{Flagicon|ITA}}'''[値]''' [[ローマ帝国]]の著名な建築家[[ウィトルウィウス]]は、{{分数|25|8}}を使った。8 で割ったほうが建築には便利だったためである。小数だと 3.125 になる。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.100.</ref>

:{{Flagicon|EGY}}'''[値]''' 天文学者[[クラウディオス・プトレマイオス|プトレマイオス]]は{{分数|377|120}}を使った。小数だと約 3.1417 である。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.126, p.338.</ref>

:{{Flagicon|CHN}}'''[値]''' [[後漢]]の[[太史令]]だった[[張衡 (科学者)|張衡]]は、円に外接する正方形の周と円周を比べ、円周率を√10とした。約 3.162 になる。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.47, p.338.</ref>

:{{Flagicon|CHN}}'''[値]''' [[呉 (三国)|呉]]の[[王蕃]]は{{分数|142|45}}を用いた。約3.1551555である。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.338.</ref>

:{{Flagicon|CHN}}'''[値]'''(3) [[魏 (三国)|魏]]の[[劉徽]]は『[[九章算術]]』の注釈のなかで、ブリソンと同様の方法を用い 3.14+{{分数|64|62500}} < ''&pi;'' < 3.14+{{分数|169|62500}}であることを示している。小数では 3.141024 < ''&pi;'' < 3.142704 となる。さらに正3072角形を用いて、3.141614159という近似値も得た。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.48では264年としている。</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.338.</ref>

:{{Flagicon|CHN}}'''[値]'''(6) [[7世紀]]に編纂された[[隋書]]律暦志（[http://www.hoolulu.com/zh/25shi/15suishu/t-016.htm 外部リンク]）によると、天文学者の{{Lang|zh|[[祖沖之]]}}（そちゅうし）は、当時としては非常に正確な評価 3.1415926 &lt; ''&pi;'' &lt; 3.1415927 を示した。ヨーロッパでこれほど正確な評価を得るには、[[16世紀]]まで待たねばならない。さらに、分数での近似値 {{分数|22|7}}（約3.143）と {{分数|355|113}}（約3.1415929）を与えている。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.48, p.338.</ref>正確な方法は伝わっていないが、九章算術の方法を踏襲したと推測すると、上記の結果を得るには少なくとも円に内接する正24576角形の辺の長さを計算しなければならない。隋書では現代と同じ「圓周率」という語が用いられている。祖沖之の息子の<span lang={{Lang|zh>|祖暅</span>}}（そこう）は、父とともに球の体積の計算方法を導き出したことで知られる。

;[[6世紀|530500年頃]]

:{{Flagicon|IND}}'''[値]''' インドの[[アリヤバータ]]は、円に内接する正 ''n'' 角形と正 2''n'' 角形の周の長さの間に成り立つ関係式を求め、正384角形の周の長さから√9.8684（≒3.1414）14156）と求めた。この平方根の近似値として{{分数|3927|1250}}（=3.1416）を与えた。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.44-45, p.338.</ref>

:{{Flagicon|IND}}'''[値]''' インドの[[ブラーマグプタ]]は、正12角形、正24角形、正48角形、正96角形の周の長さから、''n'' が大きくなるにつれ正2^''n''×3角形の周の長さは√10に近づくとし、これを円周率とした<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.45-46, p.338.</ref>。

:{{Flagicon|ITA}}'''[値]''' イタリアの[[レオナルド・フィボナッチ|フィボナッチ]]が円周率を{{分数|864|275}}と計算した。これは、約 3.1418 である。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.143-145, p.338.</ref>

:を得る。これはのちに[[ライプニッツの公式]]と呼ばれるようになった。<ref>[[#ジョーゼフ1996|ジョーゼフ 1996]]</ref>

:を示し ''&pi;'' の計算を試みた。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.157-163.</ref>

:{{Flagicon|NLD}}'''[値]''' オランダの[[アドリアン・アンソニスゾーン]]が {{分数|333|106}} < ''&pi;'' < {{分数|377|120}} と評価し、両端の平均に近い値として {{分数|355|113}} を得た。これは、約 3.14159292 である。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.173.</ref>

:{{Flagicon|DEU}}'''[値]'''(35) ドイツの数学者[[ルドルフ・ファン・コイレン]]は、正4611686018427387904 (=2⁶²) 角形の辺の長さを計算し、35桁目まで ''&pi;'' の正しい値を計算した<ref>{{cite web|title={{lang|en|Ludolph Van Ceulen}}|publisher=School of Mathematics and Statistics; University of St Andrews, Scotland |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Van_Ceulen.html|year=2009|accessdate=2010-09-12}}</ref><ref>{{cite web|title={{lang|en|Numerical Approximations of π}}"|first=Williams|last=David B.|format=PDF|url=http://cims.clayton.edu/dwilliams/research/talks/pi-day-talk-2009.pdf|year=2009|accessdate=2010-09-12}}</ref>。この計算はコイレンの生涯をかけた計算であり、コイレン自身これを大変誇りとし、墓標にこの値を刻ませた。墓標はその後失われ、碑銘のみが伝わっている。ドイツでは彼の名にちなんで円周率をルドルフ数 ({{lang|de|[[:de:Ludolph_van_Ceulen#Ludolphsche_Zahl|Ludolphsche Zahl]]}}) と呼ぶことがある。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.174, p.339.</ref>

:コイレンの時代までで、正多角形の辺を増やすだけの力ずくの計算の時代は終わり、評価式の本質的な改良が行われるようになっていく。17世紀は多くの評価式が生まれ、コイレンの生涯をかけた 35桁までの計算も非常に簡単に求められるようになる。

:{{Flagicon|JPN}}'''[値]''' [[村松茂清]]が『算俎』を著し、円に内接する正2^''n''角形 (2&le;''n''&le;15) の辺の長さから ''&pi;'' ≒ 3.1415 92648 77769 88692 48とし、小数点以下7桁まで正しい値を求めた。コイレンなどの計算には遠く及ばないものの、中国などを通じて入ってくる算書に頼り切ってきた和算と違い、はじめて数学的な方法で円周率を計算し発表した和算家が村松である。

:この式と円に内接・外接する正 6 角形から 3.14022 < ''&pi;'' < 3.14160 と評価した。この式の証明は[[クリスティアーン・ホイヘンス|ホイヘンス]]によって与えられ、さらにホイヘンスによって改良された結果、[[正六角形]]を用いただけで 3.1415926533 < ''&pi;'' < 3.1415926538 と評価できるまでになった。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.146-148,188-190, p.339.</ref>

:を示した。ビエタの公式のように根号が無いため計算はしやすいが、収束はとても遅い。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.213-214, p.339.</ref>

:{{Flagicon|GBR}}'''[学]''' イギリスの[[政治哲学|政治哲学者]]の[[トマス・ホッブズ|ホッブズ]]が[[円積問題]]の解を公表し、[[ジョン・ウォリス|ウォリス]]との間で論争になる。ホッブズは死ぬまで厳密解と近似解の違いを理解できずに論争を続けた。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.216.</ref>

:が発見される。これとは独立に[[1674年]]に[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]も同じ発見をしており、グレゴリー・ライプニッツ級数とも呼ばれる。ライプニッツは ''x'' = 1 を代入し マーダヴァと同じ無限級数を得た。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.220-222, p.339.</ref>

:{{Flagicon|JPN}}'''[値]''' [[暦]]の作成にあたって円周率の近似値が必要になったため、[[関孝和]]が正 131072 角形を使って小数第 16 位まで算出した。関が最終的に採用した近似値は「3.1415926535微弱」というものだった<ref>「得三尺一寸四分一厘五毛九糸二忽六微五繊三紗五塵九埃微弱，為定周」[[#平山2007|平山 2007]], pp.57-58.</ref>が、[[エイトケンのΔ2乗加速法|エイトケン補外]]を用いた途中計算では小数第 16 位まで正確に求めている<ref name="soluble">中村佳正編、可積分系の応用数理、第6章、裳華房、2000年、ISBN 4-7853-1520-2.</ref>。西洋でエイトケン補外が再発見されたのは[[1876年]]、H.von.N&auml;gelsbachによってである<ref name="soluble"></ref><ref>H.von.N&auml;gelsbach, Arch.Math.Phys. 59(1876)147-192.</ref>。

:{{Flagicon|GBR}}'''[値]'''(72) イギリス人の[[エイブラハム・シャープ|シャープ]]がグレゴリー・ライプニッツ級数に ''x'' = {{分数|1|√3}} を入れ、&pi; を小数第 72 位まで求めた<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.236, p.339.</ref>。

: <math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}</math>

:を発見する。さらに、この関係式にグレゴリ・ライプニッツ級数を用いて小数第 100 位までの円周率を求めた。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.236-237, p.339.</ref>

:{{Flagicon|GBR}}'''[文]''' [[ウィリアム・ジョーンズ (数学者)|ウィリアム・ジョーンズ]]が初めて ''&pi;'' を円周率の意味で用いた。[[1748年]]に[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]も同じ記法を用いたことで円周率を ''&pi;'' と表記することが広まった。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.237, p.240, p.339.</ref>

:{{Flagicon|FRA}}'''[値]'''(127) フランスの[[トーマス・ラグニー]]が、シャープの方法で小数第 127 位まで計算を行う<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.237, p.339.</ref>。

:{{Flagicon|JPN}}'''[値]''' [[建部賢弘]]が『[[綴術算経]]』（てつじゅつさんけい）を著し、正 1024 角形を用いて小数第 42 位まで求めた<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.175, p.326.では小数点以下41桁としている。</ref>。「累遍増約術」（Richardson補外）を適用し、関孝和の計算に比べて遥かに少ない計算で精度を大いに改善している。なお、[[ルイス・フライ・リチャードソン]]による同手法の提案は1910年頃である。

: <math>\frac{\pi}{4} = 5 \arctan \frac{1}{7} +2 \arctan \frac{3}{79} = \frac{\pi}{4}</math>

:を用いて、 たった1時間で円周率を小数第 20 位まで計算した。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.256.</ref>

:{{Flagicon|FRA}}'''[学]''' フランスの[[科学アカデミー (フランス)|科学アカデミー]]が、ギリシアの[[定規とコンパスによる作図#ギリシアの三大作図問題|三大作図問題]]と[[永久機関]]についての論文審査を拒否する決議をした<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.287.</ref>。

:{{Flagicon|SVN}}'''[値]'''(137) [[スロベニア]]の数学者[[ユリー・ベガ]]は、マチンの公式を用いて小数第 140 位まで値を求め、小数第 137 位までが正しかった。この記録はその後50年破られることがなかった。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.175, p.339.</ref>

:{{Flagicon|FRA}}'''[学]''' [[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]によって ''&pi;'' は[[有理数]]の[[平方根]]にならないことが証明される<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.282, p.339.</ref>。

:{{Flagicon|GBR}}'''[値]'''(527) イギリスの[[ウィリアム・ラザフォード]]とその弟子の[[ウィリアム・シャンクス]]がマチンの公式を用いて桁数の記録を塗り替えた。1852年にラザフォードが小数第 441 位、シャンクスが小数第 530 位まで計算し、小数第 441 位までは両者の計算が一致していることでその計算の正しさを確認できた。しかし、arctan({{分数|1|5}}) が小数第 530 位までしか正しくなく、シャンクスの計算で正しかったのは、小数第 527 位までであった。その後、シャンクスは1872年に小数第 707 位まで達したが、この誤りが最後までつきまとった。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.176-177, p.339.</ref>

:{{Flagicon|DEU}}'''[学]''' [[フェルディナント・フォン・リンデマン|リンデマン]]によって ''&pi;'' が[[代数的数]]でないことが証明される。これにより ''&pi;'' の[[超越数|超越性]]が証明され、[[円積問題]]も否定的に解決しされた。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.280, p.340.</ref>

:{{Flagicon|USA}}'''[文][値]''' [[アメリカ合衆国]]の[[インディアナ州]]の下院で[[医者]]の[[エドウィン・グッドウィン]]による円積問題解決方法を盛り込んだ議案264246号が満場一致で通過した。グッドウィンの方法から得られる値は ''&pi;'' = 3.1604, 3.2, 3.232, 4 であり、このうち 4 については公式に認められた最も不正確な円周率の値として[[ギネス・ワールド・レコーズ|ギネスブック]]に記載された。この法案は各審議会を通過していき上院に承認を求める段階にまで達した。しかし世論の批判にあい2月12日に上院によって議論の無期限延期が決められ、法案成立目前で却下された。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.288-293.</ref>

:{{Flagicon|USA}}'''[値]'''(540) [[ファーガソン]](D.F.Ferguson)が小数第 540 位までを計算し、ウィリアム・シャンクスの誤りを指摘する。シャンクスの計算は約70年間も信用されていた。<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.177, p.340.</ref>

:このファーガソンの計算までが手計算によるものだった。手計算の時代は誤りが起こることも多かったが、この時代の数学の成果は、現代の計算機による円周率の計算においても非常に重要な役割を果たしている。

: {{Flagicon|USA}}'''[値]'''(808) ファーガソンは卓上計算機を使用して808桁まで求めた。この計算は、[[レビ・スミス]]と[[ジョン・レンチ]]によっても検算され、シャンクスの計算が間違いであることが繰り返し確認された。<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], p.215.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.177, p.340.</ref>

: {{Flagicon|USA}}'''[値]'''(2037) [[ライトウィーズナー]]が[[ENIAC]]を用いて[[マチンの公式]]により 2037桁を 70時間かけて計算した<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], p.215.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.302, p.340.</ref>。ENIACは[[第二次世界大戦]]において大砲の弾道計算を行うために作られたが、完成時にはすでに戦争は終わっていた。戦争以外にも計算機が有用であることを示すために円周率計算などに用いられた。

: {{Flagicon|USA}}'''[値]'''(3092) [[ニコルソン]]と[[ジーネル]]が[[NORC]]を用いて30923089桁を13分で計算した<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], pp.215-216.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.302-303, p.340.</ref>。

: {{Flagicon|USA}}'''[値]'''(1万) [[フランソワ・ジェニューイ]]が、[[IBM 704]]を用いて 1万桁まで計算した<ref>[[#ニーバージェルトほか1976|ニーバージェルトほか 1976]], p.216.</ref><ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.303, p.340.</ref>。

: {{Flagicon|USA}}'''[値]'''(10万) ジョン・レンチと[[ダニエル・シャンクス]]が [[IBM 7090]]を用いて 10万桁まで計算した。計算には[[シュテルマーの公式]]

: {{Flagicon|RUSUSA}}'''[値]'''(4.80億) 5月に[[デビッド・チュドノフスキー]]と[[グレゴリー・チュドノフスキー]]によって4億8000万桁まで計算された。

: {{Flagicon|RUSUSA}}'''[値]'''(10.1億) 8月にデビッド・チュドノフスキーとグレゴリー・チュドノフスキーによって10億1119万6691桁まで計算された。

: {{Flagicon|JPN}}'''[値]'''(10.7億) 11月に金田康正と田村良明によって10億7374万1799桁まで計算された。<ref>[[#金田1991|金田 1991]]</ref>

: {{Flagicon|RUSUSA}}'''[法]''' チュドノフスキー兄弟によって無限級数

: {{Flagicon|JPN}}{{Flagicon|USA}}'''[値]'''(5兆) [[長野県]][[飯田市]]の会社員近藤茂と米国のアレクサンダー・J・イーが、3カ月かけてパソコンで小数点以下5兆桁まで計算した<ref>[2010年8{{cite news |title=円周率５兆けた、ＰＣで計算 長野の会社員、３カ月5日かけ|newspaper=朝日新聞]</ref><ref>「[|date=2010-08-05|url=http://www.47newsasahi.jpcom/CNscience/201101update/CN20110119010007450804/TKY201008040488.html}} {{リンク切れ|date=2011年4月}}</ref><ref>{{cite news |title=円周率５兆桁でギネス認定　近藤さん、１０兆にも挑戦中]」　[[|newspaper=共同通信]]、|date=2011年1月-01-19|url=http://www.47news.jp/CN/201101/CN2011011901000745.html|accessdate=2011-02-27}}</ref><ref>{{cite news |title=円周率５兆けた計算、ギネスも認めた　長野の会社員|newspaper=朝日新聞|date=2011-02-13|url=http://www.asahi.com/national/update/0212/TKY201102120239.html|accessdate=2011-02-27|ref=朝日。20110213}}</ref>。