「谷山–志村予想」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
モジュラーな楕円曲線の解説を追加。出典を明記。 タグ: サイズの大幅な増減 |
|||
27行目:
: これについて何か言ったり書いたりしようとする人は、これだけのことを知って私の仕事をしらべた上での事にしていただきたい。
と述べている<ref>[[#志村2008|志村 2008]], pp.250-251</ref>。
==モジュラーな楕円曲線==
以下のような手続きで<math>X_{0}\left(N\right)</math>から作られる[[楕円曲線]]<math>E</math>のことを
''モジュラーな楕円曲線''と呼ぶ。ただし、<math>X_{0} \left( N \right) := \Gamma_{0} \left( N \right) \backslash \mathcal{H}^{*}
= \{ \Gamma_{0} \tau | \Gamma_{0} \in \Gamma_{0} \left( N \right), \tau \in \mathcal{H}^{*} \}</math>は、
モジュラー曲線<math>Y_{0} \left( \Gamma \right) := \Gamma_{0} \left( N \right) \backslash \mathcal{H}
= \{\Gamma_{0} \tau | \Gamma_{0} \in \Gamma_{0} \left( N \right), \tau \in \mathcal{H} \}</math>
<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course in Modular Forms'', Springer Verlag, 2005, ISBN 978-1441920058, p.38.</ref>に[[カスプ]]({{lang|en|cusp}}、尖点)を加えてコンパクト化したリーマン面
<ref name="first_course_58">F.Diamond nad J.Schurman, ''A First Course'', p.58.</ref>、
<math>\Gamma_{0} \left( N \right) := \{ \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_{2} \left( \mathbb{Z} \right)|
\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix}* & *\\ 0 & * \end{pmatrix}\mod N \}</math>
(ここで<math>*</math>は任意の整数であることを表す)、
<math>\mathcal{H} := \{z\in\mathbb{C} | \mathrm{Im}z > 0\}</math>は上半平面、
<math>\mathcal{H}^{*} := \mathcal{H} \cup \mathbb{Q} \cup \{ \infty \}</math>
<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.13.</ref><ref name="first_course_58"></ref>である。
===ヤコビアン===
モジュラーな楕円曲線の説明のためには、まずリーマン面のヤコビアン({{lang|en|Jacobian}}、ヤコビ多様体({{lang|en|Jacobian variety}})とも言う。)の定義から始める必要がある。
リーマン面<math>X</math>のヤコビアン<math>\mathrm{Jac}\left( X \right)</math>を以下のように定義する。
:<math>\mathrm{Jac} \left( X \right) := \Omega^{1}_{hol}\left( X \right)^{\wedge}\backslash H_{1}\left( X, \mathbb{Z} \right).</math>
ただし、<math>\Omega^{1}_{hol}\left( X \right)</math>を<math>X</math>上で定義された正則な1形式の集合。
<math>\Omega^{1}_{hol}\left( X \right)^{\wedge}</math>は、その双対空間、
<math>H_{1}\left( X, \mathbb{Z}\right)</math>は、<math>X</math>上の1次の[[ホモロジー群]]である。
<math>\Omega^{1}_{hol}\left( X \right)^{\wedge}</math>の要素は、具体的には、
:<math>\mathbb{R} \int_{A_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R} \int_{A_{g}} \oplus \mathbb{R} \int_{B_{1}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{R} \int_{B_{g}},</math>
で与えられる<ref name="course_213">F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.213.</ref>。ただし、<math>\mathbb{R}</math>は実数、<math>A_{1}, \cdots A_{g}</math>、<math>B_{1}, \cdots B_{g}</math>はそれぞれ、<math>X \left( \Gamma \right)</math>の
<math>\alpha</math>-ループ、<math>\beta</math>-ループ、<math>g</math>は<math>X</math>の種数である。
または、アーベルの定理を適用して、
:<math>\Omega_{hol}^{1} \left( X \right)^{\wedge} = \left\{ \sum_{\gamma} n_{\gamma} \int_{\gamma} \Bigg| n_{\gamma} \in \mathbb{Z}, \sum_{\gamma} n_{\gamma} = 0 \right\},</math>
と考えてもよい<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.215.</ref>。ただし、<math>\gamma</math>は<math>X</math>上のパスである。また、<math>H_{1}\left( X, \mathbb{Z}\right)</math>の要素は
:<math>\mathbb{Z} \int_{A_{1}} \oplus \mathbb{Z} \int_{A_{2}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \int_{A_{g}} \oplus \mathbb{Z} \int_{B_{1}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \int_{B_{g}},</math>
で与えられる<ref name="course_213"></ref>。<math>\mathbb{Z}</math>は整数環を表す。
このような定義は、リーマン面<math>X</math>上の経路積分が、途中に任意のループ上の積分を含んでも結果が不変であることを
要求することで自然に現れる。
特に<math>X</math>がコンパクト化されたモジュラー曲線の場合は、この定義を別の等価な定義に書き換えることができる。
この場合、<math>\Omega^{1}_{hol}\left( X \right)</math>の要素は、
ウェイト2のカスプ形式<math>f\in \mathcal{S}_{2} \left( \Gamma_{0} \left( N \right) \right)</math>と強く結びついていることがわかる。ただし、<math>\mathcal{S}_{2} \left( \Gamma_{0} \left( N \right) \right)</math>は
ウェイト<math>2</math>の[[カスプ形式]]の集合を表している。
与えられた<math>f</math>から作られる1形式<math>\omega\left( f \right)</math>は一意であり
(本質的に、<math>f(\tau) d \tau</math>に等しい<ref>F.Diamond and J.Shurman, ''A First Course'', p.227.</ref>。
ここで、<math>\tau \in \mathcal{H}</math>である。)、
したがって、写像
:<math>\omega : \mathcal{S}_{2} \rightarrow \Omega^{1}_{hol} \left( X \right),</math>
は同相写像である。よって、その双対写像
:<math>\omega^{\wedge} : \Omega^{1}_{hol}\left( X \right)\rightarrow \mathcal{S}_{2},</math>
もまた同相写像である。
このことを用いて、<math>X</math>がコンパクト化されたモジュラー曲線である場合、以下のように等価なヤコビアンの定義を
導くことが出来る。<math>\Gamma</math>を<math>SL_{2} \left( \mathbf{Z} \right)</math>の合同部分群、
<math>X \left( \Gamma \right)</math>を<math>\Gamma</math>に対応するモジュラー曲線(コンパクト化された)とする
この時、<math>X \left( \Gamma \right)</math>のヤコビアンを
:<math>\mathrm{Jac} \left( X \left( \Gamma \right) \right)
:= \mathcal{S}_{2} \left( \Gamma \right)^{\wedge} / H_{1} \left( X \left( \Gamma \right), \mathbb{Z} \right),</math>
によって定義する<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.227.</ref>。
ここで、<math>\mathcal{S}_{2} \left( \Gamma \right)^{\wedge}</math>は、
:<math>\omega^{\wedge} \left( \Omega_{hol}^{1} \left( X \left( \Gamma \right) \right)^{\wedge} \right),</math>
のことである<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.227.</ref>。
また、<math>H_{1}\left( X \left( \Gamma \right), \mathbb{Z} \right)</math>は、
<math>\omega^{\wedge}\left( H_{1} \left( X \left( \Gamma \right), \mathbb{Z} \right) \right)</math>を略記したものである<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.227.</ref>。
モジュラー曲線を直接扱わずヤコビアンを扱うことには以下のような理由があることを留意すべきである。
モジュラー曲線にカスプを加えてコンパクト化したリーマン面は一般に種数<math>g\ge 0</math>であり、
<math>g > 1</math>の場合、群構造を持たなくなるのに対して、ヤコビアンの方はその場合でも
群構造を持っているので扱いやすい点<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.211.</ref>と、
モジュラー曲線をヤコビアンに埋め込むことができる<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.215.</ref>点である。
===アーベル多様体===
さらに、新形式({{lang|en|new form}})
<math>f \in \mathcal{S}_{2}\left(\Gamma_{0}\left( N \right)\right)</math>に対して、
[[アーベル多様体]]({{lang|en|Abelian variery}})<math>A'_{f}</math>を
:<math>A'_{f} := J_{0}\left( N \right) / I_{f} J_{0}\left( N \right),</math>
によって定義する<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.246.</ref>。ただし、<math>I_{f}</math>は、
:<math>I_{f} := \{T \in \mathbb{T}_{Z}| T f = 0\},</math>
<math>\mathbb{T}_{Z}</math>は、整数係数の[[ヘッケ環]]である。
:<math>\mathbb{T}_{Z} := \mathbb{Z}[T_{p}, \langle d \rangle].</math>
ここで、<math>\mathbb{Z}</math>は整数環、<math>T_{p}</math>は[[ヘッケ作用素]]、<math>\langle d \rangle</math>はダイアモンド作用素である<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.241.</ref>。
(アーベル多様体<math>A'_{f}</math>の次元は<math>\mathbb{[K}_{f}: \mathbb{Q}] = 1</math>である。
ただし、<math>K_{f} := \mathbb{Q}\left(\{a_{n}\}\right)</math>は
<math>f(\tau) = \sum^{\infty}_{n=1} a_{n} q^{n}</math>の[[数体]]である
<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.234.</ref>)
<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First course''. p.359.</ref>。
ヘッケ作用素のヤコビアンへの作用は、次のように定義される。
今、ヘッケ作用素<math>T_{p}</math>とダイアモンド作用素<math>\langle d \rangle</math>をまとめて<math>T</math>と書き、
この<math>T</math>もヘッケ作用素と呼ぶことにする。
この時、ヘッケ作用素<math>T</math>のヤコビアン<math>J_{0} \left( N \right) := \mathrm{Jac} \left( X_{0} \left( N\right)\right)</math>への作用は次のようになることが
わかる<ref name="course_229">F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.229.</ref>。
:<math>T : J_{0} \left( N \right) \rightarrow J_{0} \left( N \right),\quad
[\varphi]\mapsto[\varphi \circ T]\quad \varphi \in \mathcal{S}_{2} \left( \Gamma_{0} \left( N \right) \right)^{\wedge}.</math>
これは、double coset operatorの定義と、ヘッケ作用素がdouble coset operatorの特殊な場合であることから導かれる
<ref name="course_229"></ref>。なお、記号<math>[\quad]</math>は同値類の意味である。
===ヤコビアンの分解===
この時、ヤコビアン<math>J_{0} \left( N \right):= \mathrm{Jac}( X_{0} \left( N \right))</math>は、ヘッケ作用素によって次のように分解される<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.246.</ref>。
:<math>J_{0} \rightarrow \bigoplus_{f}\left(A'_{f}\right)^{m_{f}}.</math>
ここで、<math>f</math>に関する和は、新形式<math>f\in\mathcal{S}_{2}\left(\Gamma_{0}\left( M_{f}\right)\right)</math>に
入れたある同値関係によって分類される同値類の代表元についての和
<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', pp.244, 246.</ref>、
<math>M_{f}</math>は<math>N</math>の約数、<math>m_{f}</math>は<math>M_{f}/N</math>の約数の数である。
また、
写像<math>\rightarrow</math>は、同種({{lang|en|isogeny}}, 2つのトーラス間に成立する正則な準同型写像のこと。ここで、トーラスは必ずしも
種数<math>g=1</math>でなくてよい。)の意味である<ref>F.Diamond and J.Schurman, ''A First Course'', p.246.</ref>。
<math>A'_{f}</math>は<math>1</math>次元アーベル多様体であるから複素トーラスに同相、したがって楕円曲線に同相である。
このようにして構成された楕円曲線(に同種な楕円曲線)を''モジュラーな楕円曲線''と言う
<ref>黒川・斎藤・栗原共著「数論Ⅱ:岩澤理論と保型形式」、岩波書店、2005、ISBN 978-4000055284、p.590.</ref>。
与えられた、有理数係数を持った<math>f\in\mathcal{S}_{2}</math>からモジュラーな楕円曲線の方程式を構成するアルゴリズムについては
文献
<ref>J.E.Cremona, ''Algorithms for Modular Elliptic Curves(second edition)'', Cambridge University Press, 1997.
</ref>を参照せよ。
== 証明の歴史 ==
| |||