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[[熱化学]]における'''キルヒホッフの法則'''（キルヒホッフのほうそく）、または、'''キルヒホフの法則'''とは、[[反応熱]]の温度係数が[[化学反応|反応]]前後の[[熱容量]]の差に等しいという法則である<ref>「キルヒホフの法則」『岩波理化学辞典』第5版 CD-ROM版, 岩波書店.</ref>。1858年に[[グスタフ・キルヒホフ|グスタフ・キルヒホッフ]]が理論的に導いた{{sfnp|Kirchhoff|1858}}{{sfnp|Parks|1945|p=262}}。狭義の[[化学反応]]に伴う反応熱について成り立つだけでなく、{{仮リンク|溶解熱|en|heat of solution}}や[[希釈#希釈熱|希釈熱]]などの、広義の{{仮リンク|混合熱|en|heat of mixing}}についても一般に成り立つ。また、[[蒸発熱]]などの、[[状態変化]]に伴う[[潜熱]]についても適用できる<ref>「キルヒホフの法則」『[[世界大百科事典]]』平凡社.</ref>。
この法則によると、反応後の熱容量が反応前の熱容量より大きい場合、[[発熱反応]]であれば、温度上昇とともに発熱量が減少する。[[吸熱反応]]であれば、逆に、温度上昇とともに吸熱量が増大する。反応後の熱容量が反応前の熱容量より小さい場合は、温度上昇とともに発熱量は増大し、吸熱量は減少する。いずれの場合でも、反応前後の熱容量の差が大きいほど、反応熱の温度依存性が顕著になる。
[[エンタルピー]]を用いると、上記の事柄は'''キルヒホッフの式'''と呼ばれる簡潔な式で表現できる<ref>『[[#ルイスランドル|ルイス・ランドル熱力学]]』 p. 71.</ref>。
:<math>\
ここで {{math|Δ<sub>r</sub>''H''(''T'', ''P'')}} は、温度 {{mvar|T}}、圧力 {{mvar|P}} の定温定圧条件下で起こる反応に伴うエンタルピーの変化であり、反応エンタルピーと呼ばれる。発熱反応では {{math|Δ<sub>r</sub>''H'' < 0}} であり、吸熱反応では {{math|Δ<sub>r</sub>''H'' > 0}} である。また {{math|Δ<sub>r</sub>''C<sub>P</sub>''(''T'', ''P'')}} は、生成物の[[熱容量#定圧熱容量|定圧熱容量]]から、同じ温度・圧力の下にある反応物の定圧熱容量を引いたものである。
== 導出例 ==
以下の2つの導出例は、どちらも {{math|1=(∂''H''/∂''T'')<sub>''P''</sub> = ''C''<sub>''P''</sub>}}（エンタルピーの温度係数は定圧熱容量に等しい）という関係式を用いている。
=== 例1 ===
[[File:Kirchhoffs law of thermochemistry.svg|thumb|エンタルピーの総変化量 Δ''H'' は、反応後に加熱したとき (X→Y→Z) と加熱後に反応させたとき (X→W→Z) とで同じになる。]]
温度 {{math|''T''<sub>1</sub>}}、圧力 {{mvar|P}} における反応物の[[エンタルピー]]を {{math|''H''(reactants;''T''<sub>1</sub>, ''P'')}} とし、温度 {{math|''T''<sub>2</sub>}}、圧力 {{mvar|P}} における生成物のエンタルピーを {{math|''H''(products;''T''<sub>2</sub>, ''P'')}} とする。エンタルピーは[[状態量]]なので、この反応物と生成物とのエンタルピー差 {{math|Δ''H''}} は一意に定まり、途中の経路には依存しない<ref group="注">例えば、仮に中間生成物が存在した場合を考える。この時、反応経路に沿って、出発物質と中間生成物とのエンタルピー差を求めてから、次に中間生成物と最終生成物とのエンタルピー差を求める手順で、出発物質と最終生成物とのエンタルピー差を出したとする。しかし、結局のところ単に出発物質と最終生成物とのエンタルピー差をそのまま求めた場合と等しくなる。</ref>。それゆえ、温度 {{math|''T''<sub>1</sub>}} の定温定圧条件下で反応させた後に、生成物を定圧条件下で温度 {{math|''T''<sub>1</sub>}} から {{math|''T''<sub>2</sub>}} まで加熱したときのエンタルピー変化<ref group="注">{{math|1=Δ''H'' = 0}} となる特別な場合、すなわち断熱定圧過程では、{{math|1=Δ<sub>r</sub>''H''(''T''<sub>1</sub>, ''P'') = −∫{{su|p=''T''<sub>2</sub>|b=''T''<sub>1</sub>}}''C<sub>P</sub>''(products; ''T'', ''P'') d''T''}} が成り立つ。この式は[[断熱過程#断熱火炎温度|断熱火炎温度]]を計算する際に用いられる。断熱過程ではない一般の定圧過程では {{math|1=Δ<sub>r</sub>''H''(''T''<sub>1</sub>, ''P'') ≠ −∫{{su|p=''T''<sub>2</sub>|b=''T''<sub>1</sub>}}''C<sub>P</sub>''(products; ''T'', ''P'') d''T''}} である。</ref>
{{Indent|
<math>\begin{align}
\Delta H &= H(\text{products};T_2,P) - H(\text{reactants};T_1,P) \\
&= \left[H(\text{products};T_2,P) - H(\text{products};T_1,P)\right] + \left[H(\text{products};T_1,P) - H(\text{reactants};T_1,P)\right] \\
&= \int^{T_2}_{T_1}C_P(\text{products};T,P)\,\mathrm dT + \Delta_\text{r} H(T_1,P)
\end{align}</math>
}}
は、反応物を定圧条件下で温度 {{math|''T''<sub>1</sub>}} から {{math|''T''<sub>2</sub>}} まで加熱した後に、温度 {{math|''T''<sub>2</sub>}} の定温定圧条件下で反応させたときのエンタルピー変化
{{Indent|
<math>\begin{align}
\Delta H &= H(\text{products};T_2,P) - H(\text{reactants};T_1,P) \\
&= \left[H(\text{products};T_2,P) - H(\text{reactants};T_2,P)\right] + \left[H(\text{reactants};T_2,P) - H(\text{reactants};T_1,P)\right] \\
&= \Delta_\text{r} H(T_2,P) + \int^{T_2}_{T_1}C_P(\text{reactants};T,P)\,\mathrm dT
\end{align}</math>
}}
に等しい。すなわち
{{Indent|
<math>\int^{T_2}_{T_1}C_P(\text{products};T,P)\,\mathrm dT + \Delta_\text{r} H(T_1,P)= \Delta_\text{r} H(T_2,P) + \int^{T_2}_{T_1}C_P(\text{reactants};T,P)\,\mathrm dT</math>
}}
が成り立つ。この式は、反応エンタルピー {{math|Δ<sub>r</sub>''H''(''T'', ''P'')}} の温度による違いが、反応前後の熱容量の差 {{math|Δ<sub>r</sub>''C<sub>P</sub>''(''T'', ''P'')}} から計算できることを示している。
{{Indent|
<math>\Delta_\text{r} H(T_2,P)- \Delta_\text{r} H(T_1,P) = \int^{T_2}_{T_1}\Delta_\text{r}C_P(T,P)\,\mathrm dT</math>
}}
温度範囲が広くなく、反応前後の熱容量の差 {{math|Δ<sub>r</sub>''C<sub>P</sub>''}} を温度によらない一定値とみなせる場合は、以下のように表される。
{{Indent|
<math>\frac{\Delta_\text{r} H(T_2,P)- \Delta_\text{r} H(T_1,P)}{T_2-T_1} = \Delta_\text{r}C_P</math>
}}
{{math|''T''<sub>2</sub> → ''T''<sub>1</sub>}} の極限をとると、キルヒホッフの式が得られる<ref>『[[#ムーア|ムーア物理化学]]』 p. 68.</ref>。
:<math>\left(\frac{\partial \Delta_\text{r} H}{\partial T}\right)_P = \Delta_\text{r} C_P</math>
=== 例2 ===
エンタルピーと定圧熱容量の間の関係式 {{math|1=(∂''H''/∂''T'')<sub>''P''</sub> = ''C''<sub>''P''</sub>}} より、生成物に対して
{{Indent|
<math>\frac{\partial}{\partial T} H(\text{products};T,P) = C_P(\text{products};T,P)</math>
}}
が成り立ち、反応物に対して
{{Indent|
<math>\frac{\partial}{\partial T} H(\text{reactants};T,P) = C_P(\text{reactants};T,P)</math>
}}
が成り立つ。辺々引くと
{{Indent|
<math>\frac{\partial}{\partial T} H(\text{products};T,P) - \frac{\partial}{\partial T} H(\text{reactants};T,P) = \Delta_\text{r} C_P(T,P)</math>
}}
となり、[[微分#基本法則|微分の差が差の微分に等しいこと]]を使うと、キルヒホッフの式が得られる。
{{Indent|
<math>\frac{\partial}{\partial T} \left[H(\text{products};T,P) - H(\text{reactants};T,P)\right] = \Delta_\text{r} C_P(T,P)</math>
}}
== 標準反応エンタルピー ==
キルヒホッフの法則により、{{仮リンク|標準反応エンタルピー|en|standard enthalpy of reaction}} {{math|Δ<sub>r</sub>''H''°}} の温度係数は次式で与えられる。
{{Indent|
<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dT}\Delta_\text{r} H^\circ(T) = \sum_\text{products}C_P^\circ(T) - \sum_\text{reactants}C_P^\circ(T)</math>
}}
ここで {{math|''C<sub>P</sub>''°(''T'')}} は、反応に関与する物質の[[標準状態#物質の標準状態|標準状態]]における定圧熱容量である。
例えば反応
: <math>a\,\mathrm A + b\,\mathrm B \longrightarrow c\,\mathrm C + d\,\mathrm D</math>
であれば、{{math|Δ<sub>r</sub>''H''°}} の温度係数は {{math|''C<sub>P'',m</sub>°(''T'')}} を[[定圧モル熱容量#標準定圧モル熱容量|標準定圧モル熱容量]]として
{{Indent|
<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dT}\Delta_\text{r} H^\circ(T) = cC_{P,\text{m}}^\circ(\text{C};T) + dC_{P,\text{m}}^\circ(\text{D};T) - aC_{P,\text{m}}^\circ(\text{A};T) - bC_{P,\text{m}}^\circ(\text{B};T)</math>
}}
と表される。基準温度を {{math|''T''<sub>0</sub>}} とすると<ref group="注">通常は {{math|''T''<sub>0</sub>}} = 25 ℃ = 298.15 K である。</ref>、この反応の温度 {{math|''T''<sub>1</sub>}} における標準反応エンタルピー {{math|Δ<sub>r</sub>''H''°(''T''<sub>1</sub>)}} は次式で与えられる{{sfnp|川路|2001|p=85}}。
{{Indent|
<math>\Delta_\text{r} H^\circ(T_1) = \Delta_\text{r} H^\circ(T_0) + \int_{T_0}^{T_1} \left[cC_{P,\text{m}}^\circ(\text{C};T) + dC_{P,\text{m}}^\circ(\text{D};T) - aC_{P,\text{m}}^\circ(\text{A};T) - bC_{P,\text{m}}^\circ(\text{B};T)\right]\mathrm dT</math>
}}
== 計算例 ==
=== 中和熱 ===
[[塩酸]]と[[水酸化ナトリウム水溶液]]の[[中和反応]]を考える。
:<chem>{HCl(aq)} + NaOH(aq) -> {NaCl(aq)} + H2O(l)</chem>
HCl、NaOH、NaCl は[[強電解質]]なので、この反応を[[イオン反応式]]で書くと
:<chem>{H+(aq)} + {Cl^-(aq)} + {Na+(aq)} + {OH^-(aq)} -> {Na+(aq)} + {Cl^-(aq)} + H2O(l)</chem>
となる。[[標準状態#溶液の標準状態|溶液の標準状態]]では溶質間の相互作用がゼロである。したがって、塩酸 HCl(aq) と水酸化ナトリウム水溶液 NaOH(aq) の標準反応エンタルピーは、正味のイオン反応式
:<chem>{H+(aq)} + {OH^-(aq)} -> H2O(l)</chem>
の標準反応エンタルピーに等しい。この反応の {{math|Δ<sub>r</sub>''H''°(298.15 K)}} は −55.815 kJ/mol であり、{{math|Δ<sub>r</sub>''H'' < 0}} であるから、発熱反応である<ref>[[#CODATA|CODATA Key Values (1989).]]</ref><ref>『[[#化学便覧|化学便覧]]』表10.127と表10.139の {{math|Δ<sub>f</sub>''H''°}} から計算した。</ref>。25 ℃ (298.15 K) における温度係数を計算すると
{{Indent|
<math>\begin{align}
\Delta_\text{r} C_P^\circ(298.15\,\mathrm K) &= C_{P,\text{m}}^\circ(\mathrm{H_2 O(l)};298.15\,\mathrm K) - C_{P,\text{m}}^\circ(\mathrm{H^+(aq)};298.15\,\mathrm K) - C_{P,\text{m}}^\circ(\mathrm{OH^-(aq)};298.15\,\mathrm K) \\
&=\mathrm{75.3\,JK^{-1}mol^{-1}-0\,JK^{-1}mol^{-1}-(-148.5\,JK^{-1}mol^{-1})} \\
&=\mathrm{223.8\,JK^{-1}mol^{-1}}
\end{align}</math>
}}
となる<ref>[[#NBS|NBS tables]] 2-38.</ref>。{{math|Δ<sub>r</sub>''C<sub>P</sub>'' > 0}} であるから、標準中和エンタルピーの温度係数は正である。したがって、中和反応に伴って発生する熱量は、温度上昇とともに減少する。
25 ℃ ± 7 ℃ の温度範囲で {{math|Δ<sub>r</sub>''C<sub>P</sub>''°}} の温度依存性を無視するなら、標準中和エンタルピーの温度変化は以下のように予想される。
{{Indent|
<math>\begin{align}
\Delta_\text{r} H^\circ(32\,^\circ\mathrm C) &= \Delta_\text{r} H^\circ(25\,^\circ\mathrm C) + \mathrm{7\,K}\cdot\Delta_\text{r} C_P^\circ = \mathrm{-54.2\,kJ/mol}\\
\Delta_\text{r} H^\circ(18\,^\circ\mathrm C) &= \Delta_\text{r} H^\circ(25\,^\circ\mathrm C) - \mathrm{7\,K}\cdot\Delta_\text{r} C_P^\circ = \mathrm{-57.4\,kJ/mol}
\end{align}</math>
}}
=== 自己解離反応 ===
水の[[自己解離]]反応
:<chem>H2O(l) -> {H+(aq)} + {OH^-(aq)}</chem>
は、中和反応の[[逆反応]]である。よってこの反応の標準反応エンタルピーは 25 ℃ で 55.8 kJ/mol であり、{{math|Δ<sub>r</sub>''H'' > 0}} であるから、吸熱反応である。また、25 ℃における温度係数は {{math|1=Δ<sub>r</sub>''C<sub>P</sub>'' = −223.8 JK<sup>−1</sup>mol<sup>−1</sup> < 0}} である。したがって、水の自己解離反応に必要な熱量は、温度上昇とともに減少する。
=== 蒸発熱 ===
液体の[[蒸発]]と[[沸騰]]は吸熱変化であるから、[[純物質]]の[[標準蒸発エンタルピー]] {{math|Δ<sub>vap</sub>''H''°}} は正の値をとる。液体の熱容量は、通常は同じ温度の蒸気の熱容量より大きいので<ref>『[[#ルイスランドル|ルイス・ランドル熱力学]]』 p. 62.</ref>、{{math|Δ<sub>vap</sub>''H''°}} の温度係数は負の値となる。
{{Indent|
<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dT}\Delta_\text{vap} H^\circ(T) = C_P^\circ(\text{gas};T) - C_P^\circ(\text{liquid};T) < 0</math>
}}
したがって、[[蒸発熱]]は温度が高くなるほど小さくなる。
例えば液体の水の[[定圧比熱]]は、1.00 [[カロリー|cal]]·K<sup>−1</sup>g<sup>−1</sup> であり、水蒸気の定圧比熱は、およそ {{nowrap|1=4''[[気体定数|R]]''/(18 g·mol<sup>−1</sup>) = 0.44 cal·K<sup>−1</sup>g<sup>−1</sup>}} である。これらの比熱の差から100℃と25℃における蒸発熱の差を見積もると、42 cal/g となる。25 ℃ での水の蒸発熱は 584 cal/g であるから、100℃の蒸発熱は 542 cal/g と見積もられる。実測値 539 cal/g との差は、水蒸気のエンタルピーが圧力に依存することに起因する<ref>{{Cite web|url=http://webbook.nist.gov/chemistry/fluid/|title=Thermophysical Properties of Fluid Systems|publisher=[[NIST]]|accessdate=2017-12-31}}</ref><ref group="注">標準蒸発エンタルピーは、圧力ゼロの下にある蒸気のエンタルピーから1気圧（または1バール）の液体のエンタルピーを引いたものに相当する（[[標準状態#気体の標準状態]]）。</ref>。
=== シフト反応 ===
[[水性ガスシフト反応]]は工業的に重要な反応のひとつである。
:<chem>{CO(g)} + {H2O(g)} -> {CO2(g)} + {H2(g)}</chem>
この反応の 1500 K における標準反応エンタルピーは、以下のように計算できる<ref name=BarrowP158>『バーロー物理化学』p.158.</ref>。
まず、298 K (25 ℃) における標準反応エンタルピー {{math|Δ<sub>r</sub>''H''°(298 K)}} は、反応に関与する物質の[[標準生成熱|標準生成エンタルピー]]から −41.17 kJ/mol と計算できる。この値からキルヒホッフの法則を用いて {{math|Δ<sub>r</sub>''H''°(1500 K)}} を精度よく求めるには、温度差が大きいので熱容量の温度依存性を考慮しなければならない。純物質の定圧モル熱容量は、しばしば
{{Indent|
<math>C_{P,\text{m}}(T) = a + bT + \frac{c}{T^2}</math>
}}
の形の経験式で表される<ref name=BarrowP155>『バーロー物理化学』p.155.</ref><ref group="注">''T'' は[[摂氏温度]]ではなく[[絶対温度]]である。</ref>。この経験式を使うと、温度 {{math|''T''}} における標準反応エンタルピー {{math|Δ<sub>r</sub>''H''°(''T'')}} は、次式で表される<ref name=BarrowP158 />。
{{Indent|
<math>\Delta_\text{r} H^\circ(T) = \Delta_\text{r} H^\circ(T_0) + \Delta a (T-T_0) + \frac{\Delta b}{2} (T^2-T_0^2) - \Delta c\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)</math>
}}
{| class="wikitable"
|+ 定圧熱容量のパラメータ(298 K から 2000 K の温度範囲)<ref name=BarrowP155 />
!物質
!a/JK<sup>
!b/10<sup>
!c/10<sup>5</sup>JKmol<sup>−1</sup>
|-
|
|
|{{0}}4.10
|−0.46
|-
|H<sub>2</sub>O(g)
|30.
|
|{{0}}0
|-
|CO<sub>2</sub>(g)
|
|{{0}}8.79
|−8.62
|-
|H<sub>2</sub>(g)
|27.28
|{{0}}3.26
|{{0}}0.50
|}
定圧熱容量のパラメータ {{math|''a'', ''b'', ''c''}} と {{math|1=Δ<sub>r</sub>''H''°(298 K) = −41170 J/mol}} を代入すると、温度 {{mvar|T}} における水性ガスシフト反応の {{math|Δ<sub>r</sub>''H''°(''T'')}} の計算式が得られる。
{{Indent|
<math>\frac{\Delta_\text{r} H^\circ(T)}\mathrm{J/mol} = -41170 + 12.55(T/\mathrm K-298) + \frac{-2.34\times 10^{-3}}{2} ((T/\mathrm K)^2-298^2) -(-7.66\times 10^5)\left(\frac{\mathrm K}{T}-\frac{1}{298}\right)</math>
}}
この計算式から、1500 K (1227 ℃) における標準反応エンタルピー {{math|Δ<sub>r</sub>''H''°(1500 K)}} が −30.68 kJ/mol と計算できる。
== 脚注 ==
=== 出典 ===
{{Reflist|20em}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}
== 参考文献 ==
*{{Cite journal
|title=Ueber einen Satz der mechanischen Wärmetheorie, und einige Anwendungen desselben
|author=G. Kirchhoff
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|pages=177–206
|DOI=10.1002/andp.18581790202
|ref={{sfnref|Kirchhoff|1858}}
}}
*{{Cite journal
|title=Some notes on the history of thermochemistry
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|year= 1949
|volume=26
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|pages=262-266
|DOI= 10.1021/ed026p262
|ref={{sfnref|Parks|1945}}
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|oclc=47497925
|ref=ルイスランドル
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|ref=ムーア
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|title=化学便覧 基礎編
|publisher=[[丸善出版]]
|edition=改訂5版
|volume=II
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|series = Journal of Physical and Chemical Reference Data Vol 11, Supplement No.2
|url = https://srd.nist.gov/JPCRD/jpcrdS2Vol11.pdf
|format = PDF
|accessdate = 2018-01-01
|isbn=978-0883184172
|ref =NBS
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*{{Cite book|和書
|author=G. M. Barrow
|title=バーロー物理化学
|publisher=東京化学同人
|edition=第5版
|volume=上
|others=藤代亮一 訳
|year=1990
|isbn=4-8079-0327-6
|ref=バーロー物理化学
}}
{{DEFAULTSORT:きるひほつふのほうそく}}
[[Category:熱力学]]
[[Category:物理化学]]
| |||