「集合」の版間の差分
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→外延性の原理: 公理として独立した記事があるから記述を整理し、公理であるから、表現を「とする。」に変更 タグ: コメントアウト |
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帰属関係と包含関係は異なる概念であって、混同してはならない。例えば、''X'' ⊂ ''Y'' ⊂ ''Z'' ならば必ず ''X'' ⊂ ''Z'' であるが、''X'' ∈ ''Y'' ∈ ''Z'' からは ''X'' ∈ ''Z'' は必ずしも導かれない。また、''x'' ∈ ''A'' ⊂ ''B'' ならば ''x'' ∈ ''B'' であるが、''x'' ⊂ ''A'' ∈ ''B'' からは ''x'' ∈ ''B'' を帰結することは一般にはできない。
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集合の記法には、おおまかに2通りの方法がある。論理的な概念として「[[内包と外延|外延と内包]]」というものがあるが、ほぼそれに対応するもので、その要素をすべて列挙するという方法と、対象がその集合に属するためにみたすべき条件を明示するという方法である。
集合を書き表す方法として、その集合の要素をすべて列挙する方法が考えられる。例えば、1, 3, 5, 7, 9 からなる集合は、 ▼
: <math>\{1, 3, 5, 7, 9\}</math>
と表記す
: { ''x'' | ''x'' は 10 未満の正の奇数 }
: <math>\{x \mid P(x)\}</math>
条件 ''P''(''x'') は「''x'' が ''X'' の元であって、さらに条件 ''Q''(''x'') を満たす」というような形で与えられることが多い<ref>「''x'' が ''X'' の元であって」というような断り書きをしない場合にも、実際には「普遍集合」 ({{Lang-en-short|''universal set'')}} あるいは「[[宇宙 (数学)|宇宙]]」 ({{Lang-en-short|''universe''}}) と呼ばれる、必要な議論を展開することができる程度に十分大きな集合を考え、集合と言えば必ずその普遍集合の部分集合だけを考えているといったようなことがしばしば行われる。条件 ''P''(''x'') の形から ''x'' の属するべき集合 ''X'' がある程度限定される場合にも、断り書きはしばしば省略される。</ref>が、このとき定まる集合を {''x'' | ''x'' ∈ ''X'' かつ ''Q''(''x'')} のように書く代わりに、しばしば簡単に
: <math>\{x \in X \mid Q(x)\}</math>
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