「ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明」の版間の差分

'''ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明'''（ワイルズによるフェルマーのさいしゅうていりのしょうめい）は、イギリスの数学者[[アンドリュー・ワイルズ]]による[[楕円曲線]]に関する[[モジュラリティ定理]]の特殊な場合の数学的証明である。{{仮リンク|リベットの定理|en|Ribet's Theorem}}と組み合わせることで[[フェルマーの最終定理]]の証明を与える。フェルマーの最終定理とモジュラリティ定理は双方ともに当時の知識だけで証明することは現実的にほぼ不可能だと考えられており、同時代の数学者の多くは証明することは難しいと考えていた。

ワイルズは1993年6月23日水曜日、「モジュラー形式、楕円曲線およびガロワ表現（Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations.）<ref name=nyt>{{cite news|last=Kolata|first=Gina|title=At Last, Shout of 'Eureka!' In Age-Old Math Mystery|url=https://www.nytimes.com/1993/06/24/us/at-last-shout-of-eureka-in-age-old-math-mystery.html|accessdate=21 January 2013|newspaper=The New York Times|date=24 June 1993}}</ref>」と題された[[ケンブリッジ大学]]の彼の講演にて最初に証明を発表した。しかし、1993年9月、この証明は誤りが含まれていることが判明した。1年後、1994年9月19日月曜日、ワイルズが 「（自身の）今までの職務においてもっとも重要な瞬間（"the most important moment of [his] working life"）」と呼ぶアイデアを得た。彼はこれに関して「言い表し難信じられないほど美しく…とてもシンプルでかつエレガント（"so indescribably beautiful... so simple and so elegant"）」なアイデアと語っており、これによって証明を数学者のコミュニティが受容する水準にまで正すことができた。この正しい証明は1995年に発表された<ref name="abelcitation">{{Cite web|url=http://www.abelprize.no/c67107/binfil/download.php?tid=67059|title=The Abel Prize 2016|last=|first=|date=2016|website=Norwegian Academy of Science and Letters|archive-url=|archive-date=|dead-url=|access-date=29 June 2017}}</ref>。

証明を含む2本の論文は129ページの長さであり<ref name="wiles1995">{{cite journal|last=Wiles|first=Andrew|authorlink=Andrew Wiles|year=1995|title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem|url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf|journal=Annals of Mathematics|volume=141|issue=3|pages=443–551|oclc=37032255|format=PDF|doi=10.2307/2118559|jstor=2118559|publisher=Annals of Mathematics}}</ref><ref name="taylor1995">{{cite journal|author=[[Richard Taylor (mathematician)|Taylor R]], [[Andrew Wiles|Wiles A]] |year=1995 |journal=Annals of Mathematics |title=Ring theoretic properties of certain Hecke algebras |volume=141 |issue=3 |pages=553–572 |oclc=37032255 |url=http://www.math.harvard.edu/~rtaylor/hecke.ps |doi=10.2307/2118560 |jstor=2118560 |publisher=Annals of Mathematics |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20011127181043/http://www.math.harvard.edu/~rtaylor/hecke.ps |archivedate=27 November 2001 }}</ref>、証明を構成するのにワイルズは7年を費やした。[[ジョン・コーツ]]はワイルズの証明を数論の最高の成果の1つであると述べ、[[ジョン・ホートン・コンウェイ]]はワイルズの証明は20世紀を代表する証明だと述べた<ref name=":1">{{cite web|url=https://www.pbs.org/wgbh/nova/transcripts/2414proof.html|title=NOVA - Transcripts - The Proof - PBS|last=|first=|date=September 2006|website=PBS|publisher=|archive-url=|archive-date=|dead-url=|access-date=29 June 2017}}</ref>。ワイルズのフェルマーの最終定理証明への戦略は、{{仮リンク|半安定楕円曲線|en|semistable elliptic curve}}の特殊な場合に関するモジュラリティ定理を証明をすることであり、強力なモジュラリティの{{仮リンク|リフト (数学)|en|lift (mathematics)|label=リフト}}というテクニックを確立し、他の数々の問題に対しても全く新しいアプローチの道を開いた。フェルマーの最終定理の解決に対して、ワイルズは[[ナイト]]の称号を与えられた他ほか、2016年の[[アーベル賞]]等の名誉が与えられた。ワイルズがアーベル賞を受賞することが発表されたとき、[[:en:Norwegian Academy of Science and Letters]]はワイルズの業績を「素晴らしい証明（"Stunning proof"）」と表現した<ref name="abelcitation" />。

谷山と志村が提出したこの予想はこれら二2つの数学的概念が実際は数学的に同じものであり、見方が異なるだけであるというものであった。谷山と志村の予想は「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーであろう」ということを述べており、後に谷山・志村予想として知られるようになった。西洋においてはこの予想が[[アンドレ・ヴェイユ]]の1967年の論文によって広く知られるようになったため、しばしば谷山・志村・ヴェイユ予想と呼ばれている。

当時、谷山・志村予想には証明が存在せず、証明に至るアプローチを見つけることすら絶望視されていた。このような背景もあり、証明あるいはそれに至るアプローチの発見すら絶望視されたまま谷山・志村予想は数学上の重要な未解決問題のままとして数十年残り続けた。