「ソボレフ空間」の版間の差分

[[数学]]において'''ソボレフ空間'''（ソボレフくうかん、{{lang-en|''Sobolev space''}}）は、函数からなる[[ベクトル空間]]で、函数それ自身とその与えられた階数までの導函数の[[Lpノルム| ''L^p''-ノルム]]を組み合わせて得られるノルムを備えたものである（問1．どのようなノルムが定義可能かを文献を眺めることにより明確にしよう．複数のノルムが定義できる場合にはそれらが同値である証明をも試みよ）。ここでいう微分を適当な[[弱微分|弱い意味での微分]]と解釈することにより（問2．弱いということがどのようなことか精密にしよう．特に通常の微分と比較してどう異なるのかを熟考してみなさい）、ソボレフ空間は[[完備距離空間]]、したがって[[バナッハ空間]]を成す（問3．実際に証明せよ）。直観的には、ソボレフ空間は（偏微分方程式のような応用範囲に対して）十分多くの導函数を持つ函数からなる[[バナッハ空間]]あるいは[[ヒルベルト空間]]であって、函数の大きさと滑らかさの両方を測るようなノルムを備えたものということである（問4．この1文には説明が不十分な点が多々ある．それらを明確にし，小学生が理解できるまで噛み砕いて説明し直しなさい）。

ソボレフ空間の名称は[[ロシア人]][[数学者]]の[[セルゲイ・ソボレフ]]に因む。ソボレフ空間の重要性は、[[偏微分方程式]]の解が古典的な意味での導函数を備える[[連続函数]]の空間にではなく、むしろソボレフ空間にあると捉えたほうが自然であるという事にある（問5．偏微分方程式論の文献を読むことにより，ソボレフ空間が見事な役回りを演ずることを実感しなさい．実感できるまでは以下の文章に進んではいけない．ソボレフ空間の有用性に気付かねば以下を読むことに何らの意味も存在しない。