「普遍包絡代数」の版間の差分

（'''普遍'''）'''包絡代数'''（ふへんほうらくだいすうフヘンホウラクダイスウ、{{lang-en-short|universal enveloping algebra}}, {{lang-fr-short|algèbre enveloppante}}）あるいはアルイハ（'''普遍'''）'''展開代数'''とはトハ、任意のノ[[リー代数|りぃ代数]] <math>\mathfrak{g}</math> から構成されるサレル、あるアル性質をヲ満たすタス単位的[[結合多元環|結合代数]] <math>U(\mathfrak{g})</math> とト準同型写像 <math>i\colon\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})</math> のノ組 <math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> のことをいうノコトヲイウ。

<math>\mathfrak{g}</math> をヲ任意のノ[[リー代数|りぃ代数]]とするトスル。このときコノトキ以下のノ普遍性質をヲ満たすタス[[結合多元環|結合代数]] ''A'' とリートりぃ代数のノ準同型写像 <math>i: \mathfrak{g} \to A</math> のノ組 <math>(A, i)</math> がガ存在するスル（''A'' はハ交換子積によってリーニヨツテりぃ代数とみるトミル）。任意のノ結合代数 <math>A'</math> とリートりぃ代数準同型写像 <math>i'\colon \mathfrak{g} \to A'</math> にニ対しシ、結合代数のノ準同型写像 <math>f\colon A \to A'</math> でデ、<math>f \circ i=i'</math> をヲ満たすものがタスモノガ唯一つツ存在するスル。このようなコノヨウナ <math>(A, i)</math> はハ同型をヲ除いてイテ一意的にニ存在しシ、'''普遍包絡代数'''といいトイイ、''A'' をヲ <math>U(\mathfrak{g})</math> でデ表すス:

<math>\mathfrak{g}</math> をヲ[[リー代数|りぃ代数]]、<math>T(\mathfrak{g})</math> をそのベクトルヲソノべくとる空間としてのトシテノ[[テンソル代数|てんそる代数]]とするトスル。またマタ、<math>\mathcal{I}</math> をヲ <math>x \otimes y - y \otimes x - [x, y]\quad(x, y \in \mathfrak{g})</math> がガ生成するスル両側[[イデアル|いである]]とするトスル。これによってコレニヨツテ

とするトスル。自然なナ写像 <math>T(\mathfrak{g}) \to U(\mathfrak{g})</math> をヲ <math>\mathfrak{g}</math> にニ制限してシテ <math>i\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})</math> がガ定まりマリ、<math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> はハ普遍包絡代数になるニナル。

*{{仮リンク|Poincaré–Birkhoff–Wittのノ定理|en|Poincaré–Birkhoff–Witt theorem}}

== 外部リンクりんく ==