「測地線」の版間の差分
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I.hidekazu (会話 | 投稿記録) →測地線の方程式: ds は曲線 x(t) の線素で t 依存。ds/dt = \sqrt{gij dx/dt dx/dt} でノンゼロ。 |
I.hidekazu (会話 | 投稿記録) 出典の付与。 |
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となるが、ここで弧長 s を媒介変数の１次関数と置き直せば <math> \ddot{s} = 0 </math> となる。特に媒介変数 t を弧長 s と置き直せばより簡単になり、
:<math>\frac{\mathrm{d}^2 x^k}{\mathrm{d} s^2} + \frac{1}{2} g^{k a}\left( \frac{\partial g_{a i}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{a j}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^a} \right) \frac{\mathrm{d} x^i}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} x^j}{\mathrm{d} s} = 0</math>
を得る<ref>{{harvnb|矢野|1949|pp=120-121}}</ref>。最後に[[クリストッフェル記号]]
:<math>\left\{ { {k}\atop{i j} } \right\} = \frac{1}{2} g^{k a}\left( \frac{\partial g_{a i}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{a j}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^a} \right) </math>
で置き直せば、上式は、
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== 参考文献 ==
* {{cite book | 和書 | title=微分幾何学 |
* {{cite book | 和書 | title=リーマン幾何とその応用 | author=リーマン、リッチ、レビ＝チビタ、アインシュタイン、マイヤー | editor=矢野 健太郎(訳) | publisher=共立出版株式会社 | series=現代数学の系譜 | volume=10 | year=1971 | ref=その応用(1971) }}
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