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{{Pathnav|[[数学]]|[[位相幾何学]]|[[代数的位相幾何学]]|[[ホモロジー代数学|ホモロジー代数]]|frame=1}}
'''普遍係数定理'''（ふへんけいすうていり、{{lang-en-short|universal coefficient theorems}}）とは、[[単項イデアル整域]]{{Mvar|R}}上定義された[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]や[[コホモロジー]]から、{{Mvar|R}}-[[環上の加群|加群]]を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。
定理は{{Mvar|R}}-加群として[[自由加群|自由]]な任意の[[鎖複体|チェイン複体]]に対して成立し、したがって特に[[特異ホモロジー|特異ホモロジー・コホモロジー]]のような[[位相幾何学|位相幾何学的]]な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。
== 準備 ==
本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念である{{math|Tor}}関手、{{math|Ext}}関手を定義する。
=== ホモロジー ===
{{Mvar|R}}を[[可換環]]とするとき、整数{{Mvar|n}}を添え字として持つ{{Mvar|R}}-加群<math>C_n</math>と写像<math>\partial_n~:~C_n \to C_{n-1}</math>の組<math>C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}}</math>で、
:<math> \partial_{n-1}\circ \partial_n =0
</math>
となるもの{{Mvar|R}}上の[[鎖複体|'''チェイン複体''']]といい<ref name=":1">[[#河田]] pp.55-56.</ref>、
:<math> H_n(C_*):=\mathrm{Ker}(\partial_n)/\mathrm{Im}(\partial_{n+1})</math>
を<math>C_*</math>の{{Mvar|n}}次の'''ホモロジー加群'''という<ref name=":1" />。
=== コホモロジー ===
可換環{{Mvar|R}}に対し、<math>C^* = (C^n,\delta^n)_{n\in\mathbb{Z}}</math>で<math>D_* := (C^{-n}, \delta^{-n})_{n\in\mathbb{Z}}</math>が{{Mvar|R}}上のチェイン複体になるものを'''コチェイン複体'''といい<ref name=":0">[[#河田]] p.69.</ref>、
:<math> H^n(C^*):=H_n(D_*)</math>
を<math>C^*</math>の{{Mvar|n}}次の'''コホモロジー加群'''という<ref name=":0" />。
=== {{math|Tor}}関手 ===
{{Main|Tor関手}}
{{Mvar|R}}を単項イデアル整域とし、{{Mvar|M}}、{{Mvar|N}}を{{Mvar|R}}-[[環上の加群|加群]]とする。さらに短完全系列
: <math>0 \longrightarrow A \overset{\iota}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} M \to 0</math>
で{{Mvar|A}}、{{Mvar|B}}が自由{{Mvar|R}}-加群であるものを選び<ref group="注" name=":0">具体的には{{mvar|M}}の{{Mvar|R}}上の生成元<math>(e_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}</math>を選び、<math>A:=R^{\Lambda}=\{(a_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\mid a_{\lambda}\in R, </math>有限個の<math>\lambda</math>を除いて<math>a_{\lambda}=0\}</math>とし、<math>A \to R</math>を<math>(a_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\to \sum_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}e_{\lambda}</math>とし、{{mvar|B}}をこの写像の[[核 (代数学)|カーネル]]とすればよい。定義から明らかに{{mvar|A}}は{{mvar|R}}上自由である。また{{mvar|R}}は単項イデアル整域なので、自由加群{{mvar|A}}の部分加群である{{mvar|B}}も自由である。</ref>、
: <math>0 \longrightarrow A \otimes_R N\overset{\iota\otimes_R 1_N}{\longrightarrow} B \otimes_R N \overset{p\otimes_R 1_N}{\longrightarrow} M \otimes_R N \longrightarrow 0</math>
を考えると必ずしも完全系列にならない{{Refn|最初の{{mvar|0}}を除いた<math>A \otimes_R N\overset{\iota\otimes_R 1_N}{\longrightarrow} B \otimes_R N \overset{p\otimes_R 1_N}{\longrightarrow} M \otimes_R N \longrightarrow 0</math>は完全系列である<ref>[[#河田]] p.33.</ref>。|group=注}}。そこで
: <math>\mathrm{Tor}_R(M,N):=\mathrm{Ker}(\iota\otimes_R 1_N)</math>
と定義する<ref name=":4">[[#Dieck]] p.292.</ref>。<math>\mathrm{Tor}_R(M,N)</math>の定義は{{Mvar|A}}、{{Mvar|B}}の取り方に依存しているが、実は{{Mvar|A}}、{{Mvar|B}}を別のものに取り替えて定義した<math>\mathrm{Tor}_R(M,N)</math>と自然に同型になる事が知られているので[[well-defined]]である<ref name=":4" />。
<math>\mathrm{Tor}_R(\cdot,\cdot)</math>の事を'''{{math|Tor}}関手'''という。
なお、{{Mvar|R}}が単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にも{{Math|Tor}}が定義できるが本項では割愛する。また<math>\mathrm{Tor}_R(M,N)</math>の事を<math>\mathrm{Tor}^1_R(M,N)</math>と表記し、より一般に<math>\mathrm{Tor}^n_R(M,N)</math>（{{math|1=''n''≧''0''}}）を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細は[[Tor関手]]の項目を参照されたい。
{{math|Tor}}関手は以下の性質を満たす。
{{math theorem|命題{{Anchors|Torの性質}}|
{{Mvar|R}}を単項イデアル整域、{{Mvar|M}}、{{Mvar|N}}を{{Mvar|R}}-[[環上の加群|加群]]とするとき、次が成立する：
# <math>\mathrm{Tor}_R(M,N) \approx \mathrm{Tor}_R(N,M)</math>。<ref>[[#河田]] p.114.</ref>
# <math>\mathrm{Tor}_R(\oplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda},N) \approx \oplus_{\lambda\in\Lambda}\mathrm{Tor}_R(M_{\lambda},N)</math>。ここで「<math>\oplus</math>」は{{Mvar|R}}-加群としての直和を表す<ref>[[河田]] p.109.</ref>。
# {{Mvar|M}}が[[自由加群|自由]]{{Mvar|R}}-加群なら<math>\mathrm{Tor}_R(M,N) = 0</math>
# <math>\mathrm{Tor}_R(R/(x),N) \approx \{u\in N \mid xu = 0\}</math>。<ref>[[#Davis]] p.26.</ref>
# <math>\mathrm{Tor}_R(R/(x),R/(y)) \approx R/(\mathrm{gcd}(x,y))</math>、ここで{{Math|gcd(''x'',''y'')}}は{{Mvar|x}}と{{Mvar|y}}の最大公約元である。
# {{Mvar|K}}を標数{{mvar|0}}の体とするとき、任意の有限生成{{Mvar|R}}-加群{{mvar|M}}に対し、<math>\mathrm{Tor}_R(M,K) = 0</math>
}}
{{math proof|
1., 2.の証明は出典を参照。3.に関しては{{mvar|M}}が自由{{Mvar|R}}-加群であれば、
: <math>0 \to 0 \overset{\iota}{\to} M \overset{p}{\to} M \to 0</math>
という分解が可能なので、<math>\mathrm{Tor}_R(M,N) = \mathrm{Ker}(\iota \otimes_R 1_N)=0</math>である。
4.に関しては{{mvar|x}}倍する演算を「<math>x \cdot </math>」と書くと、
: <math>0 \to R \overset{x\cdot}{\to} R \overset{p}{\to} R/(x) \to 0</math>
という分解が可能であり、<math>R\oplus_R N\approx N</math>なので、
: <math>N \overset{x\cdot \otimes_R 1_N}{\to} N \overset{p \otimes 1_N}{\to} R/(x)\otimes_R N \to 0</math>
である。よって<math>\mathrm{Tor}_R(M,N) = \mathrm{Ker}(x\cdot \otimes_R 1_N)=\{u\in N \mid xu=0\}</math>である。
5.に関しては4.から直接従う。6.に関しては、{{mvar|M}}が有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、{{mvar|R{{sup|n}}}}と{{math|''R''/(''x''{{sub|''i''}})}}の直和で書ける。よって1.により、<math>\mathrm{Tor}_R(M,N)</math>は<math>\mathrm{Tor}_R(R^n,N)</math>と<math>\mathrm{Tor}_R(R/(x_i),N)</math>の直和で書けるが、前者は3.より{{mvar|0}}に等しく、後者も4.により{{mvar|0}}に等しい。
|drop=yes}}
{{Mvar|R}}が単項イデアル整域であるので、{{Mvar|M}}、{{Mvar|N}}が有限生成である場合、[[#主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理|有限生成加群の基本定理]]から、{{Mvar|M}}は{{Mvar|R{{sup|n}}}}と複数の{{Math|''R''/(''x''{{sub|''i''}})}}の直和で書け、{{Mvar|N}}も同様である。上述の1., 2.から{{Math|Tor{{sub|''R''}}}}は直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対する{{Math|Tor{{sub|''R''}}}}を容易に計算できる。
=== {{Math|Ext}}関手 ===
{{Main|Ext関手}}{{math|Tor}}のときと同様、{{Mvar|R}}を単項イデアル整域とし、{{Mvar|M}}、{{Mvar|N}}を{{Mvar|R}}-[[環上の加群|加群]]とし、さらに短完全系列
: <math>0 \longrightarrow A \overset{\iota}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} M \to 0</math>
で{{Mvar|A}}、{{Mvar|B}}が自由{{Mvar|R}}-加群であるものを選ぶ<ref name=":0" group="注" />。そして
: <math>0 \longrightarrow \mathrm{Hom}_R(M,N) \overset{p^*}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}_R(B,N) \overset{\iota^*}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}_R(A) \to 0</math>
を考えると必ずしも完全系列にはならない{{Refn|最後の{{mvar|0}}を除いた<math>0 \longrightarrow \mathrm{Hom}_R(M,N) \overset{p^*}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}_R(B,N) \overset{\iota^*}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}_R(A)</math>は完全系列である。<ref>[[#河田]] p.28.</ref>|group=注}}。そこで
: <math>\mathrm{Ext}_R(M,N):=\mathrm{Coker}_R(\iota^*)</math>
と定義する<ref name=":5">[[#Dieck]] p.294.</ref>。ここで{{Math|Coker}}は[[余核]]である。すなわち、<math>f~:~X \to Y</math>に対し、<math>\mathrm{Coker}(f)=Y/\mathrm{Im}(f)</math>である。
<math>\mathrm{Ext}_R(M,N)</math>の定義は{{Mvar|A}}、{{Mvar|B}}の取り方に依存しているが、実は{{Mvar|A}}、{{Mvar|B}}を別のものに取り替えて定義した<math>\mathrm{Ext}_R(M,N)</math>と自然に同型になる事が知られているので[[well-defined]]である<ref name=":5" />。
<math>\mathrm{Ext}_R(\cdot,\cdot)</math>の事を'''{{math|Ext}}関手'''という。
また<math>\mathrm{Ext}_R(M,N)</math>に関しても<math>\mathrm{Tor}_R(M,N)</math>と同様、{{Mvar|R}}が一般の環の場合に対しても定義できるし、<math>\mathrm{Ext}^n_R(M,N)</math>が定義できて<math>\mathrm{Ext}_R(M,N)=\mathrm{Ext}^1_R(M,N)</math>であるが、本項では説明を割愛する。詳細は[[Ext関手]]の項目を参照されたい。
{{math|Ext}}関手は以下を満たす：
{{math theorem|命題{{Anchors|Extの性質}}|
{{Mvar|R}}を単項イデアル整域、{{Mvar|M}}、{{Mvar|N}}を{{Mvar|R}}-[[環上の加群|加群]]とするとき、次が成立する：
# <math>\mathrm{Ext}(\oplus_{\lambda\in \Lambda}M_{\lambda},N)=\oplus_{\lambda\in \Lambda}\mathrm{Ext}(M_{\lambda},N)</math>。ここで「<math>\oplus</math>」は{{Mvar|R}}-加群としての直和である<ref name="kawada-118">[[#河田]] p.118.</ref>。
# <math>\mathrm{Ext}(M,\textstyle\prod_{\lambda\in \Lambda}N_{\lambda})=\textstyle\prod_{\lambda\in \Lambda}\mathrm{Ext}(M,N_{\lambda})</math>。ここで「<math>\textstyle\prod</math>」は{{Mvar|R}}-加群としての直積である<ref name="kawada-118" />。
# {{Mvar|M}}が自由{{Mvar|R}}-加群なら<math>\mathrm{Ext}(M,N)=0</math>
# <math>\mathrm{Ext}_R(R/(x),N) \approx N/(x)</math>。<ref>[[#Davis]] p.26.</ref>
# <math>\mathrm{Ext}_R(R/(x),R/(y)) \approx R/(\mathrm{gcd}(x,y))</math>、ここで{{Math|gcd(''x'',''y'')}}は{{Mvar|x}}と{{Mvar|y}}の最大公約元である。
# {{Mvar|K}}を標数{{mvar|0}}の体とするとき、任意の有限生成{{Mvar|R}}-加群{{mvar|M}}に対し、<math>\mathrm{Ext}_R(M,K) = 0</math>
}}
{{math proof|
1.、2.に関しては出典を参照。3.に関しては{{mvar|M}}が自由{{Mvar|R}}-加群であれば、
: <math>0 \to 0 \overset{\iota}{\to} M \overset{p}{\to} M \to 0</math>
という分解が可能なので、<math>\mathrm{Ext}(M,N)=\mathrm{Coker}(\iota^*)=0</math>である。
4.に関しては、{{mvar|x}}倍する演算を「<math>x \cdot </math>」と書くと、
: <math>0 \to R \overset{x\cdot}{\to} R \overset{p}{\to} R/(x) \to 0</math>
という分解が可能であり、
: <math>0 \to \mathrm{Hom}(R/(x),N) \overset{p^*}{\to} \mathrm{Hom}(R,N) \overset{(x\cdot)^*}{\to} \mathrm{Hom}(R,N) </math>
である。
ここで<math>\varphi\in \mathrm{Hom}(R,N)</math>に対し、<math>(x\cdot)^*(\varphi)(u)=\varphi(xu)=x\varphi(u)</math>である。
しかも<math>\varphi\in\mathrm{Hom}(R,N)</math>は<math>1\in R</math>の行き先により全ての<math>u\in R</math>の行き先が決まるので、<math>\mathrm{Hom}(R,N) \overset{\sim}{\to} N, \varphi\mapsto \varphi(1)</math>である。よって<math>\mathrm{Ext}_R(R/(x),N) </math><math>=\mathrm{Coker}((x\cdot)^*)</math><math>\approx N/(x)</math>である。
5.は4.から直接従う。6.に関しては、{{mvar|M}}が有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、{{mvar|R{{sup|n}}}}と{{math|''R''/(''x''{{sub|''i''}})}}の直和で書ける。よって1.により、<math>\mathrm{Ext}_R(M,K)</math>は<math>\mathrm{Ext}_R(R^n,K)</math>と<math>\mathrm{Ext}_R(R/(x_i),K)</math>の直和で書けるが、前者は3.より{{mvar|0}}に等しく、後者も4.により{{mvar|0}}に等しい。
|drop=yes}}
{{math|Tor{{sub|R}}}}の場合と同様、{{mvar|M}}が有限生成{{mvar|R}}-加群であれば、これらの性質から{{math|Ext{{sub|R}}}}を具体的に計算できる。
== {{math|Tor}}に関する普遍係数定理 ==
=== ホモロジーの場合 ===
次の定理が成立することが知られている：
{{math theorem|定理|
{{Mvar|R}}を[[単項イデアル整域]]とし、{{Mvar|M}}を{{Mvar|R}}-[[環上の加群|加群]]とし、さらに<math>C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}}</math>を{{Mvar|R}}上のチェイン複体で、各{{Mvar|n}}に対し<math>C_n</math>が{{Mvar|R}}-加群として自由なものとする。このとき
:<math> 0 \to H_n(C_*) \otimes_R M \overset{\alpha}{\to} H_n(C_*\otimes M) \overset{\beta}{\to} \operatorname{Tor}_R(H_{n-1}(C_*),M) \to 0</math>
が[[完全系列|短完全系列]]となる{{Mvar|α}}、{{Mvar|β}}が存在する<ref name="Dieck295">[[#Dieck]] p.295.</ref>。
しかもこの短完全系列は<math>C_*</math>および{{Mvar|M}}に関して[[自然変換|自然]]である。さらにこの短完全系列は（自然ではなく）[[分裂補題|分裂]]する<ref name="Dieck295" />。
|note={{math|Tor}}に関する普遍係数定理{{Anchors|Torに関するホモロジーの普遍係数定理}}}}
上記の定理で{{Mvar|α}}は<math>[c]\otimes_R m\in H_n(C_*) \otimes_R M \mapsto [c \otimes_R m] \in H_n(C_* \otimes_R M)</math>と具体的に書ける<ref name="Dieck295" />。
なお、係数環 {{mvar|R}}が<math>\mathbb{Z}</math>で{{mvar|M}}が<math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>の場合は、上記の定理は{{仮リンク|ボックシュタイン・スペクトル系列|en|Bockstein spectral sequence}}の特別な場合に相当する。
<math>R=\mathbb{Z}</math>で各<math>H_n(C_*)</math>が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、<math>H_n(C_*)</math>は自由加群部分{{Math|''F''{{sub|''n''}}}}と素数{{Mvar|p}}に対する<math>T_{n,p}=\{x\in H_n(C_*) \mid \exists m>0~:~ p^mx=0 \}</math>の和で書ける。（有限個の素数{{Mvar|p}}を除いて<math>T_{n,p}=0</math>である）。ここで[[普遍係数定理#Torの性質|前述したTorの性質]]を利用すると、以下がわかる：{{math theorem|命題|上記の設定のもと：
:<math>H_n(C_*\otimes M) \approx H_n(C_*)\otimes M
\oplus \operatorname{Tor}_R(H_{n-1}(C_*),M)
\approx
\begin{cases}
\mathbb{Z}_p{}^{\mathrm{rank}(F_n)+\mathrm{rank}(T_{n-1,p}\otimes \mathbb{Z}_p)} & \text{if } M=\mathbb{Z}_p\\
M^{\mathrm{rank}(F_n)} & \text{if } M=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}
\end{cases}
=== コホモロジーの場合 ===
チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う：
{{math theorem|定理{{Anchors|Torに関するコホモロジーの普遍係数定理}}|
{{Mvar|R}}、{{Mvar|M}}を[[#Torに関するホモロジーの普遍係数定理|上述の定理]]と同様に取り、<math>C^*</math>を任意のコチェイン複体とすると、
:<math> 0 \to H^n(C^*)\otimes_R M \overset{\alpha}{\to} H^n(C^*\otimes_R M) \overset{\beta}{\to} \operatorname{Tor}_R(H^{n+1}(C^*),M) \to 0</math>
が[[完全系列|短完全系列]]となる{{Mvar|α}}、{{Mvar|β}}が存在する<ref name="Diek297">[[#Dieck]] p.297.</ref>。}}
この短完全系列が<math>C^*</math>、{{Mvar|M}}に関して[[自然変換|自然]]である事や[[分裂補題|分裂]]する事も[[#Torに関するホモロジーの普遍係数定理|前述の定理]]と同様である。
また<math>R=\mathbb{Z}</math>で各<math>H^n(C_*)</math>が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。
==={{Mvar|M}}係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理===
上述のコチェイン複体関する普遍係数定理を{{Mvar|M}}を係数に持つコホモロジー（例えば{{Mvar|M}}を係数にもつ[[特異ホモロジー|特異コホモロジー]]）に適用する場合は注意が必要である。
====定義====
これまで同様{{Mvar|R}}が単項イデアル整域とし、{{Mvar|M}}を{{Mvar|R}}-加群する。{{Mvar|R}}上のチェイン複体<math>C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}}</math>に対し、
:<math> \partial_n{}^* ~:~\mathrm{Hom}_R(C_{n},M) \to \mathrm{Hom}_R(C_{n+1},M), ~~c \mapsto c \circ \partial_{n+1} </math>
と定義すると
:<math> \partial_{n+1}{}^*\circ\partial_n{}^*=0
</math>
であるので<math>\mathrm{Hom}_R(C_*,M):=(\mathrm{Hom}_R(C_*,M),\partial_n{}^*)_{n\in\mathbb{Z}}</math>はコチェイン複体である。<math>\mathrm{Hom}_R(C_*,M)</math>を{{Mvar|M}}に関する<math>C_* </math>の'''双対コチェイン複体'''（{{lang-en-short|dual cochain complex}}）という<ref name="Diek297" />。
{{math theorem|定義{{Anchors|係数つきホモロジー}}|
* <math>H_n(C_*;M):=H_n(C_*\otimes_R M)</math>を<math>C_*</math>の{{mvar|n}}次の{{mvar|M}}'''に係数を持つホモロジー加群'''という<ref>[[#河田]] p.80.</ref>。
* <math>H^n(C_*;M):=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,M))</math>を<math>C_*</math>の{{mvar|n}}次の{{mvar|M}}'''に係数を持つコホモロジー加群'''という<ref>[[#河田]] p.80.</ref>。
}}
====ホモロジーの場合====
{{mvar|M}}に係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、
: <math>H_n(C_*;M)=H_n(C_*\otimes_R M)</math>
: <math>H_n(C_*;R)=H_n(C_*\otimes_R R)=H_n(C_*)</math>
なので、[[#Torに関するホモロジーの普遍係数定理|前述のホモロジーに関する普遍係数定理]]の<math>H_n(C_*\otimes_R M)</math>、<math>H_n(C_*)</math>を単純に置き換える事で、以下の系が従う：{{math theorem|系|
{{Mvar|R}}、{{Mvar|M}}を[[#Torに関するホモロジーの普遍係数定理|前述の定理]]と同様に取り、<math>C_*</math>を任意のチェイン複体とすると、
:<math> 0 \to H_n(C_*;R) \otimes_R M \overset{\alpha}{\to} H_n(C_*; M) \overset{\beta}{\to} \operatorname{Tor}_R(H_{n-1}(C_*;R),M) \to 0</math>
が短完全系列となる{{Mvar|α}}、{{mvar|β}}が存在する。}}
一方、{{mvar|M}}'''を係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要'''である。実際、<math>C^*:=\mathrm{Hom}_R(C_*,R)</math>としてやると、
: <math>H^n(C_*;R)=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,R))=H^n(C^*)</math>
であるが、<math>H^n(C_*;M)</math>の方は
: <math>H^n(C^*;M)=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,M))</math>
であり、[[#Torに関するコホモロジーの普遍係数定理|コホモロジーの普遍係数定理]]における
: <math>H^n(C^*\otimes_R M)=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,R)\otimes_R M)</math>
とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら２つが等しくなり、{{mvar|M}}を係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる：
{{math theorem|定理|
{{Mvar|R}}、{{Mvar|M}}を[[#Torに関するホモロジーの普遍係数定理|前述の定理]]と同様に取り、さらに<math>C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}}</math>を{{Mvar|R}}上のチェイン複体で各{{Mvar|n}}に対し、<math>C_n</math>が{{Mvar|R}}-加群として自由なものとする。
このとき{{mvar|M}}が{{mvar|R}}上有限生成であるかもしくは全ての{{mvar|n}}に対して<math>H_n(C_*;R)</math>が{{mvar|R}}上有限生成であれば、任意の{{mvar|n}}に対して以下が[[完全系列]]になる{{Mvar|α}}、{{Mvar|β}}が存在する<ref>[[#Dieck]] p.297.</ref>:
: <math>0 \to H^n(C_*;R)\otimes_R M \overset{\alpha}{\to} H^n(C_*;M) \overset{\beta}{\to} \mathrm{Tor}_R(H^{n+1}(C_*;R),M)\to 0</math>.
}}
== {{Math|Ext}}に関する普遍係数定理 ==
{{math|Ext}}関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。
[[#係数つきホモロジー|前に述べたように]]、チェイン複体<math>C_* </math>の双対コチェイン複体<math>\mathrm{Hom}_R(C_*,M):=(\mathrm{Hom}_R(C_*,M),\partial_n{}^*)_{n\in\mathbb{Z}}</math>に対し、{{Mvar|M}}を係数に持つコホモロジー加群を<math> H^n(C_*;M)=H^n(\mathrm{Hom}_R(C_*;M))</math>により定義する。
このとき以下の定理がしたがう：
{{math theorem|定理|
{{Mvar|R}}を[[単項イデアル整域]]とし、{{Mvar|M}}を{{Mvar|R}}-[[環上の加群|加群]]とし、さらに<math>C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}}</math>を{{Mvar|R}}上のチェイン複体で各{{Mvar|n}}に対し、<math>C_n</math>が{{Mvar|R}}-加群として自由なものする。このとき、
:<math> 0 \to \operatorname{Ext}_R(H_{n-1}(C_*),M) \overset{\beta}{\to} H^n(C_*; M) \overset{\alpha}{\to} \operatorname{Hom}_R(H_n(C_*), M)\to 0</math>
が[[完全系列|短完全系列]]となる{{Mvar|α}}、{{Mvar|β}}が存在する。
しかもこの短完全系列は<math>C_*</math>および{{Mvar|M}}に関して[[自然変換|自然]]である。さらにこの短完全系列は（{{Mvar|M}}に関して自然だが<math>C_*</math>に関しては自然ではなく）[[分裂補題|分裂]]する<ref name="Dieck296" />。
|note={{Math|Ext}}に関する普遍係数定理{{Anchors|Extに関する普遍係数定理}}}}
上述の定理において{{Mvar|α}}は<math>[\varphi]\in H^n(C_*;M)=H^n(\textrm{Hom}_R(C_*,M))</math>に対し、<math>[c] \in H^n(C_*) \mapsto \varphi(c)\in M</math>という<math>\operatorname{Hom}_R(H_n(C_*), M)</math>の元を対応させる写像である<ref name="Dieck296">[[#Dieck]] p.296.</ref>。
<math>R=\mathbb{Z}</math>で各<math>H_n(C_*)</math>が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、<math>H_n(C_*)</math>は自由加群部分{{Math|''F''{{sub|''n''}}}}と捩れ部分群部分<math>T_n</math>の和で書ける。この事実と[[#Extの性質|{{Math|Ext}}の性質]]を利用すると、以下がわかる：{{math theorem|命題|上記の設定のもと以下が成立する<ref>[[#Davis]] p.46.</ref>：
:<math>H^n(C_*;\mathbb{Z}) \approx \mathrm{Hom}(H_n(C_*); \mathbb{Z})
\oplus \operatorname{Ext}_R(H_{n-1}(C_*),\mathbb{Z})
\approx
F_n \oplus T_{n-1}
</math>|note=}}
上記により<math>\mathbb{Z}</math>-係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後は{{Math|Tor}}に関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。
<math>H_n(C_*)</math>が有限生成であれば、[[#Extに関する普遍係数定理|上述の普遍係数定理]]でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する：
{{math theorem|定理|
{{Mvar|R}}を[[単項イデアル整域]]とし、{{Mvar|M}}を{{Mvar|R}}-[[環上の加群|加群]]とし、さらに<math>C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}}</math>を{{Mvar|R}}上のチェイン複体で各{{Mvar|n}}に対し、<math>C_n</math>が{{Mvar|R}}-加群として自由で、しかも<math>H_n(C_*)</math>が有限生成{{mvar|R}}-加群であるものとする。
このとき、
:<math> 0 \to \operatorname{Ext}_R(H^{n+1}(C_*),M) \overset{\beta}{\to} H_n(C_*; M) \overset{\alpha}{\to} \operatorname{Hom}_R(H^n(C_*), M)\to 0</math>
が[[完全系列|短完全系列]]となる{{Mvar|α}}、{{Mvar|β}}が存在し、この短完全系列は分裂する<ref name="Davis48" />。
|note=}}
上述の定理において、{{mvar|α}}は<math>[z]\otimes m \in H_n(C_*\otimes_R M)=H_n(C_*;M)</math>に対し、<math>[f]\in H^n(C_*)\mapsto f(z) m\in M</math>という<math>\mathrm{Hom}(H^n(C_*),M)</math>の元を対応させる写像である<ref name="Davis48">[[#Davis]] p.48.</ref>。
== 関連項目 ==
*{{仮リンク|キ
== 脚注 ==
=== 出典 ===
{{reflist|20em}}
=== 注釈 ===
{{reflist|group="注"}}
== 参考文献 ==
*引用文献
** {{cite book|洋書|title=Algebraic Topology|date=2008/9/15|publisher=[[ヨーロッパ数学会|European Mathematical Society]]|ref=Dieck|author=Tammo tom Dieck|series=Ems Textbooks in Mathematics|isbn=978-3037190487}}
** {{cite book|和書|title=ホモロジー代数|date=1990/11/8|publisher=[[岩波書店]]|ref=河田|author=河田敬義|series=岩波基礎数学選書|isbn=978-4000078047}}
** {{Cite book|洋書|title=Lecture Notes in Algebraic Topology|date=2001/8/1|publisher=American Mathematical Society|author=James F. Davis, Paul Kirk|isbn=978-0821821602|series=Graduate Studies in Mathematics|ref=Davis}}
その他
**[[Allen Hatcher]], ''Algebraic Topology'', Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html author's homepage].
** {{cite journal
| last = Kainen
| first = P. C.
101 ⟶ 274行目:
| doi = 10.1007/bf01113560
}}
** {{Cite book
| 和書
| last1 = 志甫
114 ⟶ 287行目:
== 外部リンク ==
*[http://math.stackexchange.com/questions/767864/universal-coefficient-theorem-with-ring-coefficients/768481#768481 Universal coefficient theorem with ring coefficients] Mathematics
{{DEFAULTSORT:ふへんけいすうていり}}
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