「ド・モアブルの定理」の版間の差分
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'''ド・モアブルの定理'''（ド・モアブルの-ていり）あるいは'''ド・モアブルの公式'''（ド・モアブルの-こうしき）とは整数 <math>n</math> に対して、
: <math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta</math>▼
▲(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta
▲が成り立つという[[複素数]]に関する[[定理]]。定理の名称は[[アブラーム・ド・モアブル]]に因む。証明には三角関数の加法定理が利用される。
ひとたびド・モアブルの定理が証明され、それが既知であるならば、定理の等式に現れる ''n'' を[[自然数]]とするとき、左辺の[[冪乗]]を展開して実部・虚部を比較することで、''n'' 倍角の公式を導出することができる。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の ''n'' 倍角の公式を内在的に含んでいる。
[[オイラーの公式]]によれば、この定理は複素変数の[[指数関数]]に関する指数法則（の一部）
: <math>exp(
の成立を意味するものである。
== 証明 ==
[i] <math>n = 0</math> のとき
: （左辺）= <math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{0} = 1 </math>.
よって <math>n = 0</math> のとき成立。
[ii] <math>n = k</math> のとき
: <math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{k} = \cos k \theta + i \sin k \theta</math>▼
▲(\cos \theta + i \sin \theta)^{k} = \cos k \theta + i \sin k \theta
が成り立つならば、
: <math>= (\cos \theta + i \sin \theta)^{k} (\cos \theta +
: <math>= (\cos k \theta + i \sin k \theta) (\cos \theta + i \sin \theta)</math>▼
: <math>=\cos k \theta \cdot \cos \theta + \cos k \theta \cdot i \sin \theta + i \sin k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta</math>▼
▲= (\cos k \theta + i \sin k \theta) (\cos \theta + i \sin \theta)
▲=\cos k \theta \cdot \cos \theta + \cos k \theta \cdot i \sin \theta + i \sin k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta
=(\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta) + i(\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta)</math>▼
ここで[[三角関数#加法定理|加法定理]]より、
: <math>\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta = \cos(k\theta + \theta)</math>
: <math>\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta = \sin(k\theta + \theta)</math>
であるから、結局
: <math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{k + 1} = \cos((k + 1) \theta) + i \sin((k + 1) \theta)</math>▼
▲(\cos \theta + i \sin \theta)^{k + 1} = \cos((k + 1) \theta) + i \sin((k + 1) \theta)
となり、<math>n = k + 1</math>のときも定理は成立する。
よって、[i], [ii] からすべての[[自然数]] <math>n</math> に対してド・モアブルの定理が成り立つ。
<math>n < 0</math> のとき、<math>n=-m</math> となる自然数 ''m'' をとると、1 より ''m'' に対しては定理の等式が成立するから、
: <math>= { 1 \over {(\cos \theta + i \sin \theta)^{
▲: <math>=
▲= { 1 \over { \cos m \theta + i \sin m \theta}}
={{ \cos m \theta - i \sin m \theta} \over {(\cos m \theta + i \sin m \theta) ( \cos m \theta - i \sin m \theta )}}▼
▲= \cos m \theta - i \sin m \theta
であり、また、
▲
▲\cos (-m \theta) + i \sin (-m \theta) = \cos m \theta - i \sin m \theta
であるから、<math>n < 0</math> のときも成り立つ。
以上からド・モアブルの定理は任意の整数 ''n'' について成り立つことが示された。
== 関連項目 ==
* [[複素数]]
* [[三角関数]]
[[Category:解析学|ともあふるのていり]]
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