「ド・モアブルの定理」の版間の差分

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'''ド・モアブルの定理'''(ド・モアブルの-ていり)あるいは'''ド・モアブルの公式'''(ド・モアブルの-こうしき)とは整数 <math>n</math> に対して、
: <math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta</math>
:<math>
が成り立つという[[複素数]]に関する[[定理]]。定理の名称は[[アブラーム・ド・モアブル]]にちなむ。証明には三角関数の加法定理が利用される。
(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta
</math>
が成り立つという[[複素数]]に関する[[定理]]。定理の名称は[[アブラーム・ド・モアブル]]に因む。証明には三角関数の加法定理が利用される。
 
ひとたびド・モアブルの定理が証明され、それが既知であるならば、定理の等式に現れる ''n'' を[[自然数]]とするとき、左辺の[[冪乗]]を展開して実部・虚部を比較することで、''n'' 倍角の公式を導出することができる。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の ''n'' 倍角の公式を内在的に含んでいる。
 
[[オイラーの公式]]によれば、この定理は複素変数の[[指数関数]]に関する指数法則(の一部)
: <math>exp(''i''& \theta;)<sup>''^n''</sup> = exp(''in''&i n \theta;) (&\theta; &isin;\in '''\mathbb{R'''}, ''n''&isin; '''\in \mathbb{Z'''}) </math>
の成立を意味するものである。
 
== 証明 ==
<b>'''1</b>.''' まずは、''n'' が( 0 を含む)[[自然数]]であるときに、[[数学的帰納法]]を用いて定理の成立を示す。
 
[i] <math>n = 0</math> のとき
: (左辺)= <math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{0} = 1 </math>.
(: (右辺)= <math>\cos \theta0 + i \sin \theta)^{0} = 1 </math>.
</math>。
:(右辺)= <math>
\cos 0 + i \sin 0 = 1
</math>。
よって <math>n = 0</math> のとき成立。
 
[ii] <math>n = k</math> のとき
: <math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{k} = \cos k \theta + i \sin k \theta</math>
:<math>
(\cos \theta + i \sin \theta)^{k} = \cos k \theta + i \sin k \theta
</math>
が成り立つならば、
=: <math>(\cos m \theta -+ i \sin m \theta)^{k + 1}</math>
:<math>
: <math>= (\cos \theta + i \sin \theta)^{k} (\cos \theta + 1}i \sin \theta)</math>
: <math>= (\cos k \theta + i \sin k \theta) (\cos \theta + i \sin \theta)</math>
</math>
: <math>=\cos k \theta \cdot \cos \theta + \cos k \theta \cdot i \sin \theta + i \sin k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta</math>
:<math>
=: <math>=(\cos k \theta +\cdot i\cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta)^{k} + i(\cos k \theta +\cdot i\sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta)</math>
</math>
:<math>
= (\cos k \theta + i \sin k \theta) (\cos \theta + i \sin \theta)
</math>
:<math>
=\cos k \theta \cdot \cos \theta + \cos k \theta \cdot i \sin \theta + i \sin k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta
</math>
:<math>
=(\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta) + i(\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta)</math>
 
 
ここで[[三角関数#加法定理|加法定理]]より、
: <math>\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta = \cos(k\theta + \theta)</math>
: <math>\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta = \sin(k\theta + \theta)</math>
であるから、結局
: <math>(\cos \theta + i \sin \theta)^{k + 1} = \cos((k + 1) \theta) + i \sin((k + 1) \theta)</math>
:<math>
(\cos \theta + i \sin \theta)^{k + 1} = \cos((k + 1) \theta) + i \sin((k + 1) \theta)
</math>
となり、<math>n = k + 1</math>のときも定理は成立する。
 
よって、[i], [ii] からすべての[[自然数]] <math>n</math> に対してド・モアブルの定理が成り立つ。
 
<b>'''2</b>.''' 続いて、''n'' が[[負の整数]]の場合を、既に示した ''n'' が自然数の場合を利用して証明する。
 
<math>n < 0</math> のとき、<math>n=-m</math> となる自然数 ''m'' をとると、1 より ''m'' に対しては定理の等式が成立するから、
= { 1 \over {: <math>(\cos m \theta + i \sin m \theta)^{-m}}</math>
:<math>
: <math>= { 1 \over {(\cos \theta + i \sin \theta)^{-m}}}</math>
\cos: (-m<math>= \theta){ + i1 \sinover (-m \theta) ={ \cos m \theta -+ i \sin m \theta}}</math>
</math>
: <math>=({{ \cos km \theta \cdot- \cos \theta -i \sin km \theta} \cdotover {(\sincos m \theta) + i( \cossin km \theta) \cdot( \sincos m \theta +- i \sin km \theta \cdot \cos \theta)}}</math>
:<math>
=: { 1<math>= \over {(\cos m \theta +- i \sin m \theta)^{m}}}</math>
</math>
:<math>
= { 1 \over { \cos m \theta + i \sin m \theta}}
</math>
:<math>
={{ \cos m \theta - i \sin m \theta} \over {(\cos m \theta + i \sin m \theta) ( \cos m \theta - i \sin m \theta )}}
</math>
:<math>
= \cos m \theta - i \sin m \theta
</math>
であり、また、
={{: <math>\cos m \theta (- i \sin m \theta} \over {(\cos m \theta) + i \sin (-m \theta) (= \cos m \theta - i \sin m \theta )}}</math>
:<math>
\cos (-m \theta) + i \sin (-m \theta) = \cos m \theta - i \sin m \theta
</math>
であるから、<math>n < 0</math> のときも成り立つ。
 
以上からド・モアブルの定理は任意の整数 ''n'' について成り立つことが示された。
 
== 関連項目 ==
* [[複素数]]
* [[三角関数]]
 
[[Category:解析学|ともあふるのていり]]