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「線型方程式」の版間の差分

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以下、特に断らない場合は係数をとる集合 ''K'' を（可換な）体とする。多くの場合 ''K'' は、実数全体の成す集合 '''R''' または複素数全体の成す集合 '''C''' のことと思って差し支えない。
 
== 一次方程式 ==
''n'' 元の一次（代数）方程式とは、''K''<sup>''n''</sup> の元 '''a''', ''K'' の元 ''b'' および ''K''<sup>''n''</sup> を動く不定元 '''x''' により、<math>('''\mathbf{a'''}, '''\mathbf{x'''}) + ''b'' = 0</math> の形で表すことができる等式のこと。ここで、(&middot;, &middot;) は ''K''<sup>''n''</sup> における[[内積]]である。これは <math>\mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n), \mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)</math> とおくと、
: <math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n + b = 0</math>▼
'''a''' = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>), '''x''' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) とおくと、
▲:<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n + b = 0</math>
と書いても同じことである（"一次" 方程式というのは、"一次[[多項式]]" を 0 に等しいとおいて定義される方程式という意味である）。''b'' = 0 のとき斉次または同次形であるという。
 
''f''<submath>'''f_\mathbf{a'''</sub>} ('''\mathbf{x'''}) = ('''\mathbf{a'''}, '''\mathbf{x'''})</math> とおいて得られる写像 ''f''<submath>'''f_\mathbf{a'''</sub>}: ''K_n \rightarrow K''<sup>''n''</supmath> &rarr; ''K'' は '''x''' に関して線型性を持つ（参考:[[一次関数]]）。
 
(''n'a' 元一次方程式を ''<sub>''im'' 本連立させた[[線型方程式系|方程式系]]を考えよう。このとき、各方程式が</submath>(\mathbf{a}_i, '''\mathbf{x'''}) + ''b''<sub>''i''</sub>b_i = 0 \ ('''\mathbf{a'''<sub>''i''</sub>}_i = (''a''<sub>''i'' 1</sub>a_{i1}, ''a''<sub>''i'' 2</sub>a_{i2}, ..., ''a''<sub>''a_{in''</sub>}), ''i'' = 1, 2, ..., ''m'')</math> で与えられているなら、線型代数学で取り扱われるように、''m'' 行 ''n'' 列の[[行列]]（係数行列） ''<math>A'' = (''a''<sub>''a_{ij''})</submath>) を用いて、この方程式系を▼
参考:[[一次関数]]
: <math>\frac{dA \mathbf{y}}{dxx} =+ A(x)\mathbf{yb} = 0</math>▼
の形に整理することが出来できる（ただし、'''<math>\mathbf{b'''} = (''b''<sub>1</sub>b_1, ''b''<sub>2</sub>b_2, ..., ''b''<sub>''m''</sub>b_m)<sup>^T</submath>: 縦ベクトル）。これも '''b''' = 0 のときには斉次の方程式系であるという。方程式の本数 ''m'' は行列 ''A'' の[[行列の階数|階数]] rank ''A'' まで減らすことが出来できる。また、''m'' = rank ''A'' かつ ''m'' &gt; ''n'' のとき、''m'' - ''n'' 個の任意定数を導入する（あるいは ''m'' - ''n'' 個の変数を任意定数と見做みなす）ことで、議論を ''m'' = ''n'' のときに帰着することが出来できる。▼
 
''f''<sub>''A''</submath>f_A ('''\mathbf{x'''}) = ''A'' '''\mathbf{x'''}</math> と置いて得られる写像 ''f''<sub>''A''</submath>f_A: ''K''<sup>''^n''</sup> &rarr;\rightarrow ''K''<sup>''^m''</supmath> は '''x''' に関して線型性を持つ。▼
''n'' 元一次方程式を ''m'' 本連立させた[[線型方程式系|方程式系]]を考えよう。このとき、各方程式が
▲('''a'''<sub>''i''</sub>, '''x''') + ''b''<sub>''i''</sub> = 0 ('''a'''<sub>''i''</sub> = (''a''<sub>''i'' 1</sub>, ''a''<sub>''i'' 2</sub>, ..., ''a''<sub>''in''</sub>), ''i'' = 1, 2, ..., ''m'') で与えられているなら、線型代数学で取り扱われるように、''m'' 行 ''n'' 列の[[行列]]（係数行列） ''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>) を用いて、この方程式系を
: ''A'' '''x''' + '''b''' = 0
▲の形に整理することが出来る（ただし、'''b''' = (''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ..., ''b''<sub>''m''</sub>)<sup>T</sub>: 縦ベクトル）。これも '''b''' = 0 のときには斉次の方程式系であるという。方程式の本数 ''m'' は行列 ''A'' の[[行列の階数|階数]] rank ''A'' まで減らすことが出来る。また、''m'' = rank ''A'' かつ ''m'' &gt; ''n'' のとき、''m'' - ''n'' 個の任意定数を導入する（あるいは ''m'' - ''n'' 個の変数を任意定数と見做す）ことで、議論を ''m'' = ''n'' のときに帰着することが出来る。
 
== 線型微分方程式 ==▼
▲''f''<sub>''A''</sub>('''x''') = ''A'' '''x''' と置いて得られる写像 ''f''<sub>''A''</sub>: ''K''<sup>''n''</sup> &rarr; ''K''<sup>''m''</sup> は '''x''' に関して線型性を持つ。
=== 高階単独型 ===▼
 
''x'' の関数 ''y'' の高階微分 ''d<supmath>d^i</sup> y'' /'' dx<sup>^i</supmath>'' および、可微分関数 ''a''<sub>''i''</submath>a_i (''x'') \ (1 &\le; ''i'' &\le; ''n''),\ ''b''(''x'')</math> により▼
▲==線型微分方程式==
: <math>\frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)y = b(x)</math>▼
▲===高階単独型===
▲''x'' の関数 ''y'' の高階微分 ''d<sup>i</sup>y''/''dx<sup>i</sup>'' および、可微分関数 ''a''<sub>''i''</sub>(''x'') (1 &le; ''i'' &le; ''n''), ''b''(''x'') により
▲:<math>\frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)y = b(x)</math>
で表される微分方程式を'''単独高階型の線型微分方程式'''という。''b'' = 0 であるとき'''斉次'''であるといい、
: <math>\frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)y = 0</math>
を元の方程式に'''属する斉次方程式'''という。
 
微分作用素 ''<math>f''(''d'' /'' dx)</math> を
: <math>f(d/dx) = \frac{d^n}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)</math>
で定めると、未知関数 ''y'' への作用 ''<math>f''(''d'' /'' dx'')'' y''</math> は ''y'' に関して線型性をもつ。
 
=== 一階連立型 ===
各成分が変数 ''x'' の（適当な階数の）可微分関数である ''n'' 次元縦ベクトル '''y'''(''x''), ''m'' 次元縦ベクトル '''b'''(''x'') および ''m'' &times; ''n'' 行列 ''A''(''x'') に対し、
: <math>\frac{d\mathbf{y}}{dx} = A(x)\mathbf{y} + \mathbf{b}</math>
で定義される[[微分方程式]]（系）を ''A''(''x'') を'''係数行列'''とする'''一階連立型線型微分方程式'''などとよぶ。<math>\mathbf{b}(x) = 0 \ ( \mbox{for all } x)</math> であるとき、'''斉次'''（または'''同次'''）であるといい、
: <math>\frac{d\mathbf{y}}{dx} = A(x)\mathbf{y}</math>
'''b'''(''x'') = 0 (for all ''x'') であるとき、'''斉次'''（または'''同次'''）であるといい、
を元の方程式に'''属する斉次方程式'''という。右辺の ''<math>A''(''x'')''' \mathbf{y'''}</math> は '''y''' に関して線型性を持つ。▼
▲:<math>\frac{d\mathbf{y}}{dx} = A(x)\mathbf{y}</math>
▲を元の方程式に'''属する斉次方程式'''という。右辺の ''A''(''x'')'''y''' は '''y''' に関して線型性を持つ。
 
高階単独型線型微分方程式は、変換
: <math>y_i := \frac{d^{i-1}y}{dx^{i-1}} \ (i = 1, 2, ..., n)</math>
(''i'' = 1, 2, ..., ''n'') により一階連立型の微分方程式に変形できる。
 
== 重ね合わせの原理 ==
斉次方程式の持つ線型性から、''X'', ''Y'' がその方程式の解ならばその一次結合 &<math>\alpha;'' X'' + &\beta;'' Y''</math> もやはりその方程式の解となる。このことを指して'''重ね合わせの原理'''が成り立つという。斉次でない方程式も、一つの特殊解が見つかれば、ほかの解はその方程式に属する斉次方程式の解を加えることにより得られる。▼
 
▲斉次方程式の持つ線型性から、''X'', ''Y'' がその方程式の解ならばその一次結合 &alpha;''X'' + &beta;''Y'' もやはりその方程式の解となる。このことを指して'''重ね合わせの原理'''が成り立つという。
斉次でない方程式も、一つの特殊解が見つかれば、ほかの解はその方程式に属する斉次方程式の解を加えることにより得られる。
 
したがって、線型方程式の解の全体は一つのベクトル空間（あるいは[[アフィン空間]]）をつくる。これを方程式の'''解空間'''という。
 
=== 超平面 ===
0 でない ''n'' 変数の ''K'' 係数一次多項式 ''a''<sub>1</sub>''x''<sub>1</submath>a_1 x_1 + ''a''<sub>2</sub>''x''<sub>2</sub>a_2 x_2 + &hellip;\cdots + ''a''<sub>''n''</sub>''x''<sub>''n''</sub>a_n x_n \quad (''a''<sub>''i''</sub>a_i &isin;\in ''K'')</math> に対し、
: <math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b \quad (b \in K)</math>
つまり、一本の一次方程式の解空間として定義される ''K<sup>n</sup>'' の ''n'' - 1 次の[[部分空間|部分線型空間]]を、'''超平面'''と呼ぶ。
 
 
== 関連項目 ==
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* [[線型微分方程式]]
 
{{math-stub|せんけいほうていしき}}
 
[[Category:代数学|せんけいほうていしき]]
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