「カイザー窓」の版間の差分

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[[画像:Kaiser-window.png|right|thumb|400px|Kaiser window function for ''n'' = 100; and &alpha; = 0.5, 1, 2, 4, 8, 16 に対するカイザー窓.]]'''カイザー窓''' ('''Kaiser window''') は[[デジタル信号処理]]で使用されるほぼ最適の[[窓関数]] ''w''<sub>''k''</sub> である。そして公式
: <math>w_k = \left\{ \begin{matrix}\frac{I_0(\pi\alpha \sqrt{1 - (2k/n-1)^2})} {I_0(\pi\alpha)} & \mbox{if } 0 \leq k \leq n \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{matrix} \right.</math>
によって定義されている。ここで ''I''<sub>0</sub> は第1種の0次の変形[[ベッセル関数]]であり、&alpha; は窓の形状を決める任意の実数である、そして整数 ''n'' は窓の長さである。
 
定義から、この関数は常に <math>''k'' = ''n''/2</math>、すなわち窓の中心でピークをもち、そして窓の端に向かって[[指数関数]]的に減衰する。
 
&alpha; の値が大きくなるほど窓は狭くなっていく。&alpha; = 0  は長方形窓に相当する。逆に言えば、より大きい &alpha; に対して、メインローブの幅は ''w''<sub>''k''</sub> の[[フーリエ変換]]後の空間で増加し、サイドローブは振幅で減衰する。このようにしてこのパラメータはメインローブの幅とサイドローブの領域を支配している。大きな &alpha; に対して、カイザー窓の形状は[[ガウス型関数]]の傾向になる。
 
== カイザー-ベッセル派生 (KBD) 窓 ==
関連した窓関数は '''カイザー-ベッセル派生''' (KBD) 窓である、これは[[修正離散コサイン変換]] (MDCT) での使用に適当に設計されたものである。
 
KBD 窓関数 ''d''<sub>''k''</sub> はカイザー窓 ''w''<sub>''k''</sub> の項で、公式
: <math>d_k = \left\{ \begin{matrix}\sqrt{\frac{\sum_{j=0}^{k} w_j} {\sum_{j=0}^{n} w_j}} & \mbox{if } 0 \leq k < n \\ \\ \sqrt{\frac{\sum_{j=0}^{2n-1-k} w_j} {\sum_{j=0}^{n} w_j}} & \mbox{if } n \leq k < 2n \\ \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{matrix} \right.</math>
で定義される。
 
これは長さ 2''n'' の窓を定義している。ここで定義から ''d''<sub>''k''</sub> はMDCTに対する次のプリンセン-ブラッドレイ条件を満たす:
: ''d''<sub>''k''</sub><mathsup>{d_k}^2 </sup>+ {d_{''d''<sub>''k''+''n}}^''</sub><sup>2</sup> = 11(''w''</mathsub>(<math>w_{''n''-''k}''</sub> = w_k''w''<sub>''k''</mathsub> を用いて示される)。
 
KBD 窓はもう1つの MDCT 条件である対称性 ''d''<mathsub>''k''</sub>d_k = d_{2n''d''<sub>2''n''-1-''k}''</mathsub> も満たす。
 
== 参考文献 ==
* A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, ''Discrete-Time Signal Processing'' (Prentice-Hall, 1999).
* J. F. Kaiser, "Digital Filters," ''System Analysis by Digital Computer'' chap. 7 (Wiley: New York, 1966); F. F. Kuo and J. F. Kaiser, eds.
* [http://ccrma-www.stanford.edu/courses/422/projects/kbd/ KBD Window Page]
* H.Kato web page [http://www9.ocn.ne.jp/~hkato111/]
 
[[Category:信号処理|かいさあまと]]
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