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有理式からその部分分数分解を得ることを 「部分分数に分解する」 と言いまわすことがあるが、部分分数という実体があるわけではないことに注意。
; 例：
: <math>\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.</math>
有理式の和分や積分においては、部分分数に分解することで計算が楽になることがある。
== 原理 ==
以下、多項式 ''<math>h''(''x'')</math> に対し、<math>\deg ''h''</math> で ''<math>h''(''x'')</math> の次数を表すことにする。ただし、''<math>h''(''x'')</math> が多項式として <math>0 </math>（つまり恒等的に ''<math>h''(''x'') = 0 </math>）であるなら <math>\deg ''h'' = -∞\infty</math> とする。
=== 除法の原理 ===
有理式 ''<math>f''(''x'')/''g''(''x'')</math> に対し、<math>\deg ''f'' &\ge; \deg ''g''</math> ならば、一変数多項式[[環論|環]]の[[除法|除法の原理]]より、
: ''<math>f''(''x'') = ''Q''(''x'')'' g''(''x'') + ''R''(''x''), \deg ''R'' << \deg ''g''</math>
となる多項式 ''<math>Q''(''x''), ''R''(''x'')</math> が存在するから、
: <math>\frac{f(x)}{g(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)}</math>
と分解することができる。
=== 互除法 ===
また、一変数多項式環は単項イデアル整域だから、多項式 ''<math>p''(''x'')</math> と ''<math>q''(''x'')</math> が互いに素（つまり共通因数を含まない）ならば ''<math>a''(''x'')''p''(''x'') + ''b''(''x'')''q''(''x'') = 1</math> を満たす多項式 ''<math>a''(''x''), ''b''(''x'')</math> が存在する。したがって、''<math>g''(''x'') = ''g''<sub>1</sub>g_1(x) g_2(''x'')''g''<sub>2</submath>(''x'') で、''g''<sub>1</submath>g_1(''x''), ''g''<sub>2g_2(x)</submath>(''x'') が互いに素ならば
: <math>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\psi_1(x)}{g_1(x)} + \frac{\psi_2(x)}{g_2(x)}</math>
と分解される。
=== 分母が冪の場合 ===
また、''<math>g''(''x'')</math> がある多項式の冪になっているとき、それを ''<math>g''(''x'') = (''g''<sub>0</sub>g_0(''x''))<sup>''^m''</supmath> と書けば、除法の原理より
: ''<math>f''(''x'') = ''Q''<sub>1</sub>Q_1(''x'')(''g''<sub>0</sub>g_0(''x''))<sup>''^{m''-1</sup>} + ''R''<sub>1</sub>R_1(''x''), \deg ''R''R_b <sub>1</sub> < (''m'' - 1) \deg ''g''<sub>0g_0</submath>
となる多項式 ''Q''<sub>1</submath>Q_1(''x''), ''R''<sub>1R_1(x)</submath>(''x'') がとれる。この ''R''<submath>1R_1(x)</submath>(''x'') をさらに (''g''<sub>0</submath>(''g_0(x''))<sup>''^{m''-2}</supmath> で割り算すれば
:''R'' <sub>1</submath>R_1(''x'') = ''Q''<sub>2</sub>Q_2(''x'')(''g''<sub>0</sub>g_0(''x''))<sup>''^{m''-2</sup>} + ''R''<sub>2</sub>R_2(''x''), \deg ''R''R_2 <sub>2</sub> < (''m'' - 2) \deg ''g''<sub>0g_0</submath>
となり、以下帰納的に
:''R'' <submath>''R_{i''-1</sub>}(''x'') = ''Q''<sub>''i''</sub>Q_i(''x'')(''g''<sub>0</sub>g_0(''x''))<sup>''^{m''-''i''</sup>} + ''R''<sub>''i''</sub>R_i(''x''), \deg ''R''R_i <sub>''i''</sub> < (''m'' - ''i'') \deg ''g''<sub>0g_0</submath>
となるものがとれるから、
: <math>\frac{f(x)}{g(x)} = \sum_{i=1}^{m-1} \frac{Q_i(x)}{(g_0(x))^{i}} + \frac{R_{m-1}(x)}{(g_0(x))^m}</math>
が成り立つ。特に、deg ''Q''<sub>''i''</submath>\deg &Q_i \le; \deg ''R''<sub>''R_{i''-1</sub>} - (''m'' - ''i'') \deg ''g''<sub>0</sub>g_0 &\le; deg ''g''<sub>0g_0</submath> となる。
== 複素数係数有理式の分解 ==
有理式の部分分数分解と同様のことは[[有理型関数]]（[[整関数]]の商で表される関数）にも拡張される。一般に有理型関数の極は有限個とは限らないから、この分解は[[無限和]]すなわち、級数への展開となるので、これを'''部分分数への展開'''あるいは'''部分分数展開''' (''partial fraction expansion'') と呼ぶことが多い。
例えば、<math>1/\sin<sup>^2 z</supmath> ''z'' は、 <math>\sin ''z''</math> が整関数であるから、有理型関数である。これは
: <math>\frac{1}{\sin^2 z} = \frac{1}{z^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(z - n\pi)^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(z + n\pi)^2}</math>
という部分分数に展開される。
== 関連項目 ==
* [[分数]]
* [[総和]]
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