「代数方程式」の版間の差分
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多変数の場合を[[代数幾何学]]の項目に譲ることにして、以下本項においては、主に[[有理数]]体などの[[体 (数学)|体]]の元を係数とする 1 変数の代数方程式について詳述する。1 変数の代数方程式とは、移項して整理すれば
:<math>\sum_{k=0}^n a_kx^k = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>
（各 ''a''<sub>''
* [[一次方程式]] ''ax'' + ''b'' = 0 (''a'' ≠ 0)
* [[二次方程式]] ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = 0 (''a'' ≠ 0)
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[[因数定理]]により、''x'' = α が多項式 ''f''(''x'') の根であることと、多項式 ''f''(''x'') が ''x'' − α を因数に持つこととは[[同値]]である。さらに多項式 ''f''(''x'') に対し、正の[[整数]] ''k'' と多項式 ''g''(''x'') で
:<math>f(x)=(x-\alpha)^k g(x),\quad g(\alpha) \ne 0</math>
を満たすものが存在するとき、α を ''f''(''x'') の ''k'' [[重根]]（じゅうこん、''multiple root''）または ''k'' 位の[[零点]]といい、''k'' を根 α の'''重複度'''（じゅうふくど、''multiplicity''）または'''位数'''という。ただし、''k'' = 1 のときは'''単根'''（たんこん、''simple root'', ''simple zero''）と言う。また、単に'''重根'''と呼ぶときは、文脈により単根でない根を総称する場合と、二重根のことのみを指す場合とがある。重複度まで込めれば、代数方程式の根とは
▲:<math>a_0(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n) = 0</math>
となるときの α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, ..., α<sub>''n''</sub> のことであると言い換えられる。
二項多項式 ''x''<sup>''n''</sup> − ''a'' の根をとくに[[冪根]]という。
=== 代数的数 ===
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* [[冪根]]
* [[1の冪根]]
[[Category:代数方程式|* たいすうほうていしき]]
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[[Category:数学に関する記事|たいすうほうていしき]]
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