「射 (圏論)」の版間の差分

 

== 定義 ==

[[圏 (数学)|圏]]（category） ''C'' は、 ''対象''（object）の[[類 (数学)|類]]（class）と、''射''の類、という2つのデータによって与えられる。

 

 

射は2つの[[公理]]を満たさなければならない。

 

''C'' が具体圏のとき、合成は普通の[[写像#写像の合成|関数の合成]]であり、恒等射は普通の[[恒等関数]]であり、結合性は自動的に成り立つ。（関数の合成は結合的である）

 

== 様々な射 ==

* ''f'' : ''X'' &rarr; ''Y'' を射とする。ここで射 ''g'' : ''Y'' &rarr; ''X'' が存在して <math>f\circ g={\rm id}_Y</math> かつ <math>g\circ f={\rm id}_X</math> であった場合、 ''f'' は '''[[同型|同型射]]''' （isomorphism）と呼ばれ、''g'' は''f'' の'''逆射'''（inverse morphism）と呼ばれる。逆射は存在すれば一意に定まる。''g'' が逆射 ''f'' によって同型射となることは容易に確かめられる。同型射を伴う2つの対象は [[同型]]（isomorphic）もしくは[[同値関係|同値]]（equivalent）と呼ぶ。同型射は、圏論における射の種別としては最も重要なものである。

* 射 ''f'' : ''X'' &rarr; ''Y'' は、任意の射 ''g''₁, ''g''₂ : ''Y'' &rarr; ''Z''において <math>g_1\circ f=g_2\circ f</math> ならば ''g''₁ = ''g''₂ が成り立つとき'''全射'''（epimorphism）である。''エピ''（epi）もしくは ''エピック''（epic）とも呼ばれる。具体圏における全射はsurjectiveな射を指す（やはり[[全射]]と訳す）が、任意の圏でこれが成り立つとは限らない。

* 射 ''f'' : ''X'' &rarr; ''Y'' は、任意の射 ''g''₁, ''g''₂ : ''Z'' &rarr; ''X''において<math>f\circ g_1=f\circ g_2</math> ならば ''g''₁ = ''g''₂ が成り立つとき'''単射'''（monomorphism）である。''モノ''（mono）もしくは''モニック''（monic）とも呼ばれる。具体圏における単射は injectiveな射を指す（やはり[[単射]]と訳す）。

* ''f'' が全射かつ単射であるとき、''f'' を '''全単射'''（bimorphism）と呼ぶ。ここで、全ての同型射は全単射であるが、一般的には全ての全単射が同型射になるとは''限らない''。例えば、可換環の圏において、埋め込み '''Z''' &rarr; '''Q''' は全単射であるが同型射ではない。全ての全単射が同型射になるような圏は'''balanced category'''と呼ばれる。例えば、'''Set''' （集合の圏）は balanced category である。

* 射 ''f'' : ''X'' &rarr; ''X'' は''X''における '''[[準同型|自己射]]'''（endomorphism）と呼ぶ。

* 同型射である自己準同型射は'''[[同型|自己同型射]]'''（automorphism）と呼ばれる。

* ''f'' : ''X'' &rarr; ''Y'' および ''g'' : ''Y'' &rarr; ''X''が <math>f\circ g={\rm id}_Y</math> を満たすとき、 ''f'' がエピックかつ ''g'' がモニックで、<math>g\circ f</math> : ''X'' &rarr; ''X'' が [[冪等]]（idempotent）であることが示せる。この場合、''f'', ''g'' は '''分裂'''（split）と呼ばれる。''f'' は''g''の '''レトラクション'''（retraction）であり、''g''は'''f''' の'''断面'''（section、もしくは切断）と呼ばれる。全射でありかつ分裂な単射である、もしくは単射でありかつ分裂な全射であるような任意の射は必ず同型射になる。

 

以下も参照されたい。

* '''[[ゼロ射]]'''

* '''[[正規射]]'''

 

== 例 ==

* [[普遍代数]]（例えば[[群論|群]]、[[環論|環]]、[[加群]]など）から見出された具体圏において、射は[[準同型写像]]（homomorphism）と呼ばれる。同型射、単射、全射、自己射、自己同型射といった概念は各々の定義において全て用いられる。

* [[位相空間の圏]]において、射は[[連続関数]]であり、同型射は[[同相写像]] (homeomorphism) である。

* [[多様体#微分可能多様体|微分可能多様体]]の圏において、射は[[微分可能関数]]であり、同型射は[[位相同型|微分同相写像]]（diffeomorphism）である。

* [[関手]]は[[小さな圏]]の圏における射と考えられる。

* [[関手圏]]において、射は [[自然変換]]である。