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'''ディリクレの関数'''（ディリクレの-かんすう）とは、実数全体の成す集合 '''R''' 上で定義される次のような[[関数 (数学)|関数]]のことである。
'''ディリクレ函数'''（ディリクレ-かんすう、<em lang="en">Dirichlet function</em>）は、[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]に[[エポニム (数学)|その名をちなむ]]、[[至る所不連続]] {{lang|en|(everywhere discontinuous)}} な[[函数]]の代表的な例で、実数全体の集合の中で有理数全体が成す部分集合の[[指示函数|支持函数]]である。[[リーマン積分|リーマン可積分]]でない函数の例としてもしばしば引き合いに出される。ディリクレ函数は至る所不連続でありながら、連続函数から極限を繰り返し取ることによって到達できる、ベール函数と呼ばれるクラスの函数に属している。
== 定義 ==
実数全体の成す集合 '''R''' 上で定義される[[函数]]
:<math>
\chi_{\mathbb{Q}}f(x) =
\begin{cases}
1 & (x \in \mathbb{Q})\\
0 & (x \in \mathbb{PR}\smallsetminus \mathbb{Q})
\end{cases}
</math>
を'''ディリクレ函数'''と呼ぶ。ただし、'''Q''' は有理数全体の成す集合、'''P''' は無理数全体の成す集合である。
式からわかるように、この関数はいたるところで不連続である。さらに、
: <math> \sup \ !\!\int_int^{a} ^_{b} \chi_{\mathbb{Q}}f(x) dx = a-b -a</math> ▼: <math> \inf \ !\!\int_int^{a} ^_{b} \chi_{\mathbb{Q}}f(x) dx = 0</math> ▼が成り立つから、（sup∫ を[[上積分]]、inf∫ を[[下積分]]という）ディリクレの関数はリーマン[[積分]]不可能であることがわかる。（[[ルベーグ積分]]は可能で、その値は 0 である。これは、[[可算無限集合]]である '''Q''' は[[ルベーグ測度]]に関して零集合であることによる）
== 連続性・可積分性 関数の極限としての表示==
ディリクレの 函関数は、 連続函数の二重極限とし[[ディリクレ]]本人によって 、▼函数が<strong>至る所不連続</strong>とは、定義域上の各点で不連続、つまりどこにも連続な点がない {{lang|en|(nowhere continuous)}} 函数であることをいう。また、ある[[測度]]に関する[[零集合]]上の点を除く各点で連続な函数はその測度に関して<strong>[[殆ど至る所]]連続</strong>であるという。
: <math> \chi_{\mathbb{Q}}f(x) = \lim_{n \to \infin}\lim_{k \to \infin} \cos^{2k}(n! \,\pi x) </math> ▼と表わせることが [[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]によって示されている（したがってディリクレ 函関数は 2 階の[[ベール 函関数]]の一例である）。その方法は次による。 ▼
任意の有理数 ''q'' を考える。[[階乗|''n''!]] ''q'' は、十分大きな 自然数 ''n'' に対して恒 常等的に[[整数]]である。それに比べ、無理数 ''r'' は、いくら 自然数 ''n'' を大きく取っても ''n''! ''r'' が整数にならない。従って、ディリクレの 函関数は、次のように変形できる。 ▼ディリクレの函数は至る所不連続である一方で、'''Q''' は[[ルベーグ測度]]に関して零集合であることから、ディリクレの函数は（ルベーグ測度に関して）殆ど至る所連続である。
ディリクレ函数の[[リーマン積分|リーマン上積分]] sup ∫, 下積分 inf ∫ は任意の区間 [''a'', ''b''] について
▲: <math> \sup\!\!\int_{a}^{b} \chi_{\mathbb{Q}}(x) dx = b-a</math>
▲: <math> \inf\!\!\int_{a}^{b} \chi_{\mathbb{Q}}(x) dx = 0</math>
となることから、ディリクレの函数は<strong>至る所リーマン積分不可能</strong>であることがわかる。一方、ディリクレの函数はルベーグ測度に関して殆ど至る所定数函数 0 と等しいので、<strong>殆ど至る所[[ルベーグ積分]]可能</strong>で、その値は 0 である。
== 連続函数の極限としての表示 ==
▲: <math> \chi_{\mathbb{Q}}(x) = \lim_{n \to \infin}\lim_{k \to \infin} \cos^{2k}(n!\pi x) </math>
▲と表わせることが[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]によって示されている（したがってディリクレ函数は 2 階の[[ベール函数]]の一例である）。その方法は次による。
▲任意の有理数 ''q'' を考える。[[階乗|''n''!]]''q'' は、十分大きな自然数 ''n'' に対して恒常的に[[整数]]である。それに比べ、無理数 ''r'' は、いくら自然数 ''n'' を大きく取っても ''n''!''r'' が整数にならない。従って、ディリクレの函数は、次のように変形できる。
:<math>
\chi_{\mathbb{Q}}f(x) =
\begin{cases}
1 & (\exists n!\in\mathbb{N}\mbox{ s.t } n!,x \in \mathbb{Z})\\
0 & (\forall n\in\mathbb{N}, n!\,x \in \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Z})
\end{cases}
(n \to \infin)
</math>
ただし、'''Z''' は整数全体の成す集合。さてここで、函関数
:<math>
F(x) = \chi_{\mathbb{Z}}(x) =
\begin{cases}
1 & (x \in \mathbb{Z})\\
\end{cases}
</math>
を表示できれば、''f''(''x'') = lim[''n''→∞] F(''n''!''x'') となって決着がつく。（''F'' は単独で考えても興味深い函関数である。）
''F'' は、[[不連続]]でありながらも周期 1 をもつ振幅 1 の[[周期函数的]]である。同様に振幅 1 で一定の[[周期 1 の連続函]]を持つ関数として[[三角函関数]]、それも ''x'' = 0 で 1 を返すものとして余弦函数の平方 考える。cos<sup>2</sup>(π''x'') を考えるとは、これは ''x'' が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回[[冪乗]]することによって 0 に収束させることができ出来る。また、1 はいくら冪乗しても恒等的に 1 となって変化しない。これより、
: <math>\lim_{k \to \infin} \leftF(\cos^{2}(\pi x)\right)^k = \lim_{k \to \infin} \cos^{2k}(\pi x) = \chi_{\mathbb{Z}}(x)</math>
が結論付けられる。従って、
: <math>\chi_{\mathbb{Q}}f(x) = \lim_{n \to \infin} \chi_{\mathbb{Z}}F(n!x) = \lim_{n \to \infin}\lim_{k \to \infin} \cos^{2k}(n! \pi x) </math>
となる訳である。
{{DEFAULTSORT[[Category: 解析学|ていりくれのかんすう }}]]▼== 一般化 ==
[[Category:特殊 函関数 |ていりくれ]] ▼有理数全体 '''Q''' と無理数全体 '''P''' は実数全体 '''R''' の中でともに[[稠密]]で、互いに他の補集合である。これと同様に[[位相空間]] ''X'' の[[稠密]]部分集合 ''Y'' について、''Y'' の[[補集合]] ''Z'' = ''X'' − ''Y'' もまた ''X'' の中で稠密であるとすると、''Y'' あるいは ''Z'' の支持函数は至る所不連続になる。
[[Category:数学に関する記事 |ていりくれ]] ▼
== 関連項目 ==
* [[連続函数]]
* [[不連続函数]]
* [[可積分]]
▲{{DEFAULTSORT:ていりくれのかんすう}}
[[Category:解析学]]
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